Teorema di Hopf-Rinow

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In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo alla completezza di una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.

Sia M una varietà riemanniana connessa per archi. I fatti seguenti sono equivalenti:

  1. M è uno spazio metrico completo.
  2. I sottoinsiemi chiusi e limitati in  M sono compatti.
  3. Ogni geodetica in M può essere prolungata indefinitivamente. In altre parole, per ogni punto p di M la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente T_p(M) in p.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Spazio euclideo[modifica | modifica wikitesto]

Lo spazio euclideo \R^n con la usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo, ed il prodotto di spazi completi è completo.

Varietà compatte[modifica | modifica wikitesto]

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero l'opposto: lo spazio euclideo non è compatto.

Rimozione di un punto[modifica | modifica wikitesto]

Rimuovendo un punto p da una varietà riemanniana  M qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana N non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

  • Una successione di punti in N convergente a p è di Cauchy in N ma non converge.
  • Sia D una palla chiusa di raggio r centrata in p. L'insieme D\setminus\{p\} è chiuso e limitato in N, ma non compatto.
  • Se g è una geodetica in M attraversante p, viene tagliata in due geodetiche in N, ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di p.

Dipendenza dalla metrica[modifica | modifica wikitesto]

La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.

Ad esempio, la palla unitaria

B = \{x\in\R^n\ |\ |x|<1\}

non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di \R^n, ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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