Teorema di Hopf-Rinow

In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow è un teorema relativo alla completezza di una varietà riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow.

Il teorema

L'enunciato del teorema di Hopf-Rinow è il seguente.

Sia $M$ una varietà riemanniana connessa per archi. I fatti seguenti sono equivalenti:

1. $M$ è uno spazio metrico completo.
2. I sottoinsiemi chiusi e limitati in $M$ sono compatti.
3. Ogni geodetica in $M$ può essere prolungata indefinitivamente. In altre parole, per ogni punto $p$ di $M$ la relativa mappa esponenziale è definita sull'intero spazio tangente $T_p(M)$ in $p$.

Esempi

Spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\R^n$ con la usuale metrica euclidea è completo. Questo perché la retta reale è uno spazio completo, ed il prodotto di spazi completi è completo.

Varietà compatte

Una varietà riemanniana compatta è sempre completa. Non è vero l'opposto: lo spazio euclideo non è compatto.

Rimozione di un punto

Rimuovendo un punto $p$ da una varietà riemanniana $M$ qualsiasi si ottiene una varietà riemanniana $N$ non completa. Nessuna delle tre ipotesi elencate è infatti verificata:

• Una successione di punti in $N$ convergente a $p$ è di Cauchy in $N$ ma non converge.
• Sia $D$ una palla chiusa di raggio $r$ centrata in $p$. L'insieme $D\setminus\{p\}$ è chiuso e limitato in $N$, ma non compatto.
• Se $g$ è una geodetica in $M$ attraversante $p$, viene tagliata in due geodetiche in $N$, ciascuna delle quali non può essere estesa indefinitivamente nella direzione di $p$.

Dipendenza dalla metrica

La completezza di una varietà riemanniana dipende fortemente dalla metrica presente, e cioè dal suo tensore metrico. La stessa varietà differenziale può infatti essere completa o non completa, a seconda della metrica di cui è dotata.

Ad esempio, la palla unitaria

$B = \{x\in\R^n\ |\ |x|<1\}$

non è completa se dotata dell'usuale metrica, indotta da quella di $\R^n$, ma risulta completa se dotata della metrica di Poincaré.

Bibliografia

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi; Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione). ISBN 0471157333

Voci correlate

• Spazio completo
• Varietà riemanniana

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica