Teorema di Hartogs

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In matematica, il teorema di Hartogs è un risultato fondamentale dell'analisi complessa in più variabili dimostrato da Friedrich Hartogs. Il teorema afferma che ogni funzione a valori complessi F definita su Cn, con n > 1, ed analitica in ogni variabile zi , 1 ≤ in, con le altre variabili considerate costanti, è continua.

Un corollario afferma che sotto le stesse ipotesi del teorema, la funzione F non solo è continua, ma è anche analitica come funzione in n-variabili (equivalentamente, F si può espandere localmente nella sua serie di Taylor). In altre parole, la separata analiticità e l'analiticità sono nozioni coincidenti nella teoria delle funzioni complesse in più variabili.

Nota che l'analogo di questo teorema per funzioni di più variabili reali è falso. Infatti, se assumiamo che una funzione

f \colon {\mathbb{R}}^n \to {\mathbb{R}}

è differenziabile (o anche analitica) in ciascuna variabile separatamente, non è necessariamente vero che f è continua. Un controesempio in due dimensioni è dato dalla funzione

f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}.

Questa funzione è derivabile in x e in y (separatamente) in 0, ma non è continua in 0 (i limiti lungo le linee x=y e x=-y danno risultati diversi).

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 978-0821827246.

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