Teorema di Hartman-Grobman
In matematica, nello studio dei sistemi dinamici, il teorema di Hartman-Grobman o teorema di linearizzazione è un importante teorema che descrive il comportamento di un sistema dinamico nell'intorno di un punto di equilibrio iperbolico.
Fondamentalmente il teorema afferma che il comportamento di un sistema dinamico nei pressi di un punto di equilibrio iperbolico è qualitativamente simile a quello della sua linearizzazione intorno a quel punto. Quindi utilizzando la sua linearizzazione se ne possono studiare più agevolmente alcune caratteristiche.
Teorema di Hartman–Grobman [modifica]
Sia
una funzione liscia con un punto di equilibrio iperbolico p (cioè tale che: f(p)=0) e tale che nessun autovalore della linearizzazione A di f al punto p abbia parte reale pari a 0. Allora esiste un intorno U di p e un omeomorfismo
tale che
e tale che in un intorno U di p, il flusso di f è topologicamente coniugato da h al flusso della sua linearizzazione A[1][2][3].
In generale, anche se la funzione 
è infinitamente differenziabile, l'omomorfismo 
non deve necessariamente essere una funzione liscia e nemmeno localmente lipschitziana. Tuttavia deve soddisfare la condizione di Hölder, con un esponente che dipende dalla costante di iperbolicità di A.
Note [modifica]
- ^ Grobman, D. M. (1959). О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений. Doklady Akademii Nauk SSSR 128: 880–881.
- ^ Hartman, Philip (agosto 1960). A lemma in the theory of structural stability of differential equations. Proc. A.M.S. 11 (4): 610–620. DOI:10.2307/2034720. URL consultato in data 2010-28-05.
- ^ Hartman, Philip (1960). On local homeomorphisms of Euclidean spaces. Bol. Soc. Math. Mexicana 5: 220–241.
Collegamenti esterni [modifica]
- Coayla-Teran, E., Mohammed, S. and Ruffino, P. (febbraio 2007). Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories. Discrete and Continuous Dynamical Systems 17 (2): 281–292. DOI:10.3934/dcds.2007.17.281. URL consultato in data 9 marzo 2007.
