Teorema di Hartman-Grobman

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica, nello studio dei sistemi dinamici, il teorema di Hartman-Grobman o teorema di linearizzazione è un importante teorema che descrive il comportamento di un sistema dinamico nell'intorno di un punto di equilibrio iperbolico.

Fondamentalmente il teorema afferma che il comportamento di un sistema dinamico nei pressi di un punto di equilibrio iperbolico è qualitativamente simile a quello della sua linearizzazione intorno a quel punto. Quindi utilizzando la sua linearizzazione se ne possono studiare più agevolmente alcune caratteristiche.

Teorema di Hartman–Grobman[modifica | modifica wikitesto]

Sia

f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n

una funzione liscia con un punto di equilibrio iperbolico p (cioè tale che: f(p)=0) e tale che nessun autovalore della linearizzazione A di f al punto p abbia parte reale pari a 0. Allora esiste un intorno U di p e un omeomorfismo

h : U \to \mathbb{R}^n

tale che

h(p)=0,

e tale che in un intorno U di p, il flusso di f è topologicamente coniugato da h al flusso della sua linearizzazione A[1][2][3].

In generale, anche se la funzione f è infinitamente differenziabile, l'omomorfismo h non deve necessariamente essere una funzione liscia e nemmeno localmente lipschitziana. Tuttavia deve soddisfare la condizione di Hölder, con un esponente che dipende dalla costante di iperbolicità di A.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ D. M. Grobman, О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений [Homeomorphisms of systems of differential equations] in Doklady Akademii Nauk SSSR, vol. 128, 1959, pp. 880–881.
  2. ^ Philip Hartman, A lemma in the theory of structural stability of differential equations in Proc. A.M.S., vol. 11, nº 4, agosto 1960, pp. 610–620, DOI:10.2307/2034720. URL consultato il 28 maggio 2010.
  3. ^ Philip Hartman, On local homeomorphisms of Euclidean spaces in Bol. Soc. Math. Mexicana, vol. 5, 1960, pp. 220–241.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]