Teorema di Hahn-Kolmogorov

In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet, ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn e Kolmogorov. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Enunciato

Sia A un'algebra di sottoinsiemi di X e μ₀ : A → [ 0, ∞ ] una funzione σ-additiva, nel senso che se { A_i } è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di A e l'unione di tutti gli A_i sta in A allora

$\mu_0 \left( \bigcup_{i=1}^\infty A \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i),$

e tale che μ₀ ( ∅ ) = 0 (si dice che μ₀ è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con M ( A ) la σ-algebra generata da A, esiste una misura μ su M ( A ) che estende μ₀, cioè tale che ristretta ad A è uguale a μ₀.

Se esiste una famiglia numerabile { A_i } ⊂ A, con μ* ( A_i ) < ∞ per ogni i, che ricopre X, allora l'estensione è unica.

Dimostrazione

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna col Metodo I così da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad A è uguale a μ₀ e che gli elementi di A sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui μ₀ è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

Esistenza

Misura esterna e teorema di Carathéodory

La funzione μ* : P ( X ) → [ 0, ∞ ] costruita col Metodo I a partire da μ₀ è definita come

$\mu^*(E) := \inf\left\{ \sum_{i=1}^\infty \mu_0 ( A_i ):\ \{A_i\}_{i=1}^\infty\subset \mathbf A,\ E\subset\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right\}$

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo ( X, M, μ ), dove

$\mathbf M := \{ B\subset X:\ \mu^*(E) = \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap B^c)\ \forall E\subset X\}$

è una σ-algebra e μ è la restrizione di μ* a M.

μ* ristretta ad A è uguale a μ₀

Si vuole dimostrare che per ogni A in A vale

$\mu_0(A) = \mu^*(A) := \inf\sum \mu_0(A_i)$

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili { A_i } ⊂ A che ricoprono A. In particolare, prendendo la famiglia { A, ∅, ∅, ... } si ha subito

$\mu^*(A) \leq \mu_0(A)$.

Sia { A_i } ⊂ A una famiglia che ricopre A. L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata { A_i } si può spezzare μ₀ ( A ) sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di μ₀, di lì in poi si tratta di maggiorazioni banali. Si ricorda che ad ogni famiglia { A_i } è associata una famiglia { B_i } di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n A_i è uguale a quella dei primi n B_i, questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo B_i := A_i - ( A_i-1 ∪ ... ∪ A₁ ). Per quanto appena detto l'unione di tutti i B_i contiene A, quindi

$\mu_0(A) = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A\cap B_i)\right) = \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap B_i)\leq \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)$

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di μ₀. Ora, questo vale per qualsiasi { A_i } ⊂ A che ricopre A, quindi

$\mu_0(A) \leq \mu^*(A)$.

M contiene A

Dimostrare che A ∈ A sta in M significa dimostrare che

$\ \mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$

qualsiasi sia E ⊂ X. Per farlo si approssima μ* ( E ) usando una famiglia { A_i } ⊂ A che copre E, poi con A si spezza l'approssimazione invece che E, così da poter usare l'additività di μ₀. Nel dettaglio, per ogni ε > 0 esiste una famiglia { A_i } che copre E e tale che

$\mu^*(E) + \epsilon \geq \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i\cap A) + \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i\cap A^c)\geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$,

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo A_i come ( A_i ∩ A ) ∪ ( A_i ∩ A ^c ) e usando l'additività di μ₀, mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che { A_i ∩ A } è un ricoprimento di E ∩ A, e analogamente per E ∩ A ^c. Si noti che ε era arbitrario quindi

$\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$.

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di μ* :

$\mu^*(E) = \mu^*((E\cap A)\cup(E\cap A^c)) \leq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$

Conclusione

Ricapitolando, partendo da μ₀ si è costruita una misura esterna μ* che ristretta alla σ-algebra M è una misura μ. Si è dimostrato che l'algebra A è contenuta in M e che μ sugli elementi di A si comporta come la premisura μ₀ da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si noti che essendo M ( A ) la più piccola σ-algebra contenente A, ed A ⊂ M, si ha M ( A ) ⊂ M. Se con abuso di notazione continuiamo a denotare con μ la misura su M ristretta ad M ( A ), lo spazio di misura ( X, M ( A ), μ ) è, per quanto detto, quello cercato.

Si fa notare che in generale, mentre ( X, M, μ ) è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio ( X, M ( A ), μ ) può benissimo non esserlo (un esempio arcinoto si ha quando M ( A ) è la σ-algebra dei boreliani di Rⁿ e μ è la misura di Lebesgue).

Unicità

In questa parte si suppone che μ₀ sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato

Sia ν una misura su M ( A ) che estende μ₀, mentre si continui ad indicare con μ la misura, sempre su M ( A ), costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia { A_i } ⊂ A una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è X. Si può supporre che gli A_i siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia { B_i } con B_i := A_i - ( A_i-1 ∪ ... ∪ A₁ ) al posto di { A_i } ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile A se e solo se concordano su tutte le intersezioni A ∩ A_i, perché in questo caso sarebbe

$\mu(A) = \sum_{i=1}^\infty\mu(A\cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty\nu(A\cap A_i) = \nu(A)$.

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se B ∈ A ha misura finita e A ∈ M ( A ) è contenuto in B, allora μ ( A ) = ν ( A ). Per confrontare le due misure si consideri una famiglia { C_i } ⊂ A che ricopre A, si ha

$A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i\ \Rightarrow\ \nu(A)\leq \sum_{i=1}^\infty \nu(C_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(C_i)$

e quindi ν ( A ) ≤ μ ( A ) perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie { C_i } ⊂ A che coprono A e μ ( A ) è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche ν ( B - A ) ≤ μ ( B - A ). Ricordando che B sta in A e spezzandolo come ( B - A ) ∪ A si conclude

$\mu(B) = \nu(B) = \nu(B-A)+\nu(A) \leq \nu(B-A)+\mu(A) \leq \mu(B)$,

cioè

$\nu(B-A)+\nu(A) = \nu(B-A)+\mu(A)\ \Rightarrow\ \nu(A) = \mu(A)$.

Bibliografia

• (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006. ISBN 3540345132
• (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999. ISBN 0471317160
• (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993. ISBN 0387940014

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