Teorema di Hahn-Kolmogorov

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In teoria della misura, il teorema di Hahn-Kolmogorov stabilisce che data un'algebra di sottoinsiemi di un insieme X, ed una funzione a valori reali non negativi, nulla sul vuoto, e numerabilmente additiva (nel senso che se l'unione di una famiglia numerabile appartiene ancora all'algebra allora per questa famiglia vale la σ-additività), esiste un'unica misura che la estende alla σ-algebra generata dall'algebra di partenza.

Il primo a dimostrare il teorema fu Fréchet[1], ma la sua dimostrazione non usava il teorema di Carathéodory. La dimostrazione più moderna, qui riportata, è stata scoperta indipendentemente da Hahn[2] e Kolmogorov[3]. Per questo motivo il teorema si può trovare in letteratura sotto il nome di Hahn (da non confondere col teorema di decomposizione di Hahn) o Hahn-Kolmogorov. Spesso, comunque, non viene neanche assegnato un nome, o lo si chiama semplicemente teorema di estensione.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia \mathbf A un'algebra di sottoinsiemi di X e \mu_0 : \mathbf A \to [ 0, \infty ] una funzione σ-additiva, nel senso che se \{ A_i \} è una famiglia numerabile di elementi disgiunti di \mathbf A e l'unione di tutti gli A_i sta in \mathbf A allora:

\mu_0 \left( \bigcup_{i=1}^\infty A \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i)

e tale che \mu_0(\emptyset)=0 (si dice che \mu_0 è una premisura, o semplicemente misura se non c'è pericolo di confusione).

Indicata con M(\mathbf A) la σ-algebra generata da \mathbf A, esiste una misura \mu su M(\mathbf A) che estende \mu_0, cioè tale che ristretta ad \mathbf A è uguale a \mu_0.

Se \mu_0 è sigma-finita, cioè esiste una famiglia numerabile \{ A_i \} \subset \mathbf A che ricopre X, con \mu_0 ( A_i ) < \infty per ogni i, allora l'estensione è unica.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

La dimostrazione si divide in due parti. Nella prima si dimostra l'esistenza costruendo una misura esterna in modo da poter usare il teorema di Carathéodory, e poi si verifica che la misura esterna ristretta ad \mathbf A è uguale a \mu_0 e che gli elementi di \mathbf A sono misurabili. La seconda parte si occupa invece dell'unicità nel caso in cui \mu_0 è σ-finita nel senso indicato nell'enunciato.

Esistenza[modifica | modifica sorgente]

Misura esterna e teorema di Carathéodory[modifica | modifica sorgente]

La funzione \mu^* : P ( X ) \to [ 0, \infty ] costruita a partire da \mu_0 è definita come:

 \mu^*(E) := \inf\left\{ \sum_{i=1}^\infty \mu_0 ( A_i ):\ \{A_i\}_{i=1}^\infty\subset \mathbf A,\ E\subset\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right\}

e gode delle tre proprietà di una misura esterna (monotonia, subadditività numerabile, assegna 0 al vuoto). Il teorema di Carathéodory fornisce allora uno spazio di misura completo ( X, \mathbf M, \mu ), dove:

 \mathbf M := \{ B\subset X:\ \mu^*(E) = \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap B^c)\ \forall E\subset X\}

è una σ-algebra e \mu è la restrizione di \mu^* a \mathbf M.

μ* ristretta ad A è uguale a μ0[modifica | modifica sorgente]

Si vuole dimostrare che per ogni A in \mathbf A vale:

\mu_0(A) = \mu^*(A) := \inf\sum \mu_0(A_i)

dove l'inf è preso su tutte le famiglie numerabili \{ A_i \} \subset \mathbf A che ricoprono A. In particolare, prendendo la famiglia \{ A, \emptyset, \emptyset, \dots \} si ha subito:

 \mu^*(A) \leq \mu_0(A)

Sia \{ A_i \} \subset \mathbf A una famiglia che ricopre A. L'idea per ottenere l'altra disuguaglianza è che se si prende la famiglia disgiunta associata \{ A_i \} si può spezzare \mu_0(A) sfruttando la σ-additività (sempre nel senso indicato nell'enunciato) di \mu_0, da lì in poi si tratta di sfruttare semplici maggiorazioni. Si ricorda che ad ogni famiglia \{ A_i \} è associata una famiglia \{ B_i \} di insiemi a coppie disgiunti tale che l'unione dei primi n A_i è uguale a quella dei primi n B_i, questo per tutti gli n naturali. Tale famiglia si ottiene ponendo B_i \equiv A_i - (A_{i-1} \cup \dots \cup A_1). Per quanto detto l'unione di tutti i B_i contiene A, quindi:

 \mu_0(A) = \mu_0\left(\bigcup_{i=1}^\infty (A\cap B_i)\right) = 
\sum_{i=1}^\infty\mu_0(A\cap B_i)\leq \sum_{i=1}^\infty\mu_0(B_i) \leq \sum_{i=1}^\infty\mu_0(A_i)

dove le diseguaglianze seguono dalla monotonia di \mu_0. Ora, questo vale per qualsiasi \{ A_i \} \subset \mathbf A che ricopre A, quindi:

\mu_0(A) \leq \mu^*(A)

M contiene A[modifica | modifica sorgente]

Dimostrare che A \in \mathbf A sta in \mathbf M significa dimostrare che:

\ \mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)

qualsiasi sia A \subset X. Per farlo si approssima \mu^*(E) usando una famiglia \{ A_i \} \subset \mathbf A che copre E, poi con A si spezza l'approssimazione invece che E, così da poter usare l'additività di \mu_0. Nel dettaglio, per ogni \epsilon > 0 esiste una famiglia \{ A_i \} che copre E e tale che:

 \mu^*(E) + \epsilon \geq \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i\cap A) + \sum_{i=1}^\infty \mu_0(A_i\cap A^c)\geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)

dove l'uguaglianza si ottiene scrivendo A_i come ( A_i \cap A ) \cup ( A_i \cap A^c ) e usando l'additività di \mu_0, mentre la seconda disuguaglianza si ottiene notando che \{ A_i \cap A \} è un ricoprimento di E \cap A, e analogamente per E \cap A^c. Si nota che essendo \epsilon arbitrario:

 \mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)

L'altra disuguaglianza è regalata dalla subadditività di \mu^*:

 \mu^*(E) = \mu^*((E\cap A)\cup(E\cap A^c)) \leq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)

Conclusione[modifica | modifica sorgente]

Ricapitolando, partendo da \mu_0 si è costruita una misura esterna \mu^* che ristretta alla σ-algebra \mathbf M è una misura \mu. Si è dimostrato che l'algebra \mathbf A è contenuta in \mathbf M e che \mu sugli elementi di \mathbf A si comporta come la premisura \mu_0 da cui si era partiti. Per concludere la prima parte del teorema si nota che essendo M(\mathbf A) la più piccola σ-algebra contenente \mathbf A, ed \mathbf A \subset \mathbf M, si ha M(\mathbf A) \subset \mathbf M. Se con abuso di notazione si continua a denotare con \mu la misura su \mathbf M ristretta ad M(\mathbf A), lo spazio di misura ( X, M ( \mathbf A ), \mu ) è, per quanto detto, quello cercato.

In generale, mentre ( X, M ( \mathbf A ), \mu ) è completo (fa parte della tesi del teorema di Carathéodory), lo spazio ( X, M ( \mathbf A ), \mu ) può benissimo non esserlo (un esempio noto si ha quando M(\mathbf A) è la σ-algebra dei boreliani di \R^n e \mu è la misura di Lebesgue).

Unicità[modifica | modifica sorgente]

In questa parte si suppone che \mu_0 sia σ-finita nel senso indicato nell'enunciato. Sia \nu una misura su M(\mathbf A) che estende \mu_0, mentre si continua ad indicare con \mu la misura, sempre su M(\mathbf A), costruita sopra. Per dimostrare che sono uguali si comincia usando la σ-finitezza per restringersi a lavorare in uno spazio di misura finita. Sia \{ A_i \} \subset \mathbf A una famiglia di insiemi di misura finita la cui unione è X. Si può supporre che gli A_i siano a coppie disgiunti (al limite basta prendere la famiglia \{ B_i \} con B_i \equiv A_i - (A_{i-1} \cup \dots \cup A_1) al posto di { A_i } ). Le due misure danno lo stesso valore ad un insieme misurabile A se e solo se concordano su tutte le intersezioni A \cap A_i, perché in questo caso sarebbe:

 \mu(A) = \sum_{i=1}^\infty\mu(A\cap A_i) = \sum_{i=1}^\infty\nu(A\cap A_i) = \nu(A)

Ci si è ridotti a dover dimostrare che se B \in \mathbf A ha misura finita e A \in M(\mathbf A) è contenuto in B, allora \mu ( A ) = \nu ( A ). Per confrontare le due misure, si consideri una famiglia \{ C_i \} \subset \mathbf A che ricopre A. Si ha:

 A\subset\bigcup_{i=1}^\infty C_i

da cui:

\nu(A)\leq \sum_{i=1}^\infty \nu(C_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(C_i)

e quindi \nu ( A ) \le \mu ( A ) perché la disuguaglianza vale per tutte le famiglie \{ C_i \} \subset \mathbf A che coprono A e \mu (A) è l'inf dei termini di destra. Ma vale anche \nu (B - A ) \le \mu ( B - A ). Ricordando che B sta in \mathbf A e spezzandolo come ( B-A ) \cup A si conclude:

 \mu(B) = \nu(B) = \nu(B-A)+\nu(A) \leq \nu(B-A)+\mu(A) \leq \mu(B)

cioè:

 \nu(B-A)+\nu(A) = \nu(B-A)+\mu(A)

da cui:

\nu(A) = \mu(A)

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ M. Fréchet, Sur l'intégrale d'une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait, Bull. Soc. Math. France, 43 (1915), 248-265
  2. ^ H. Hahn, Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen, Annali Scuola Norm. Sup. Pisa, 2 (1933), 429-452
  3. ^ A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung, Springer-Verlag, Berlin (1933)

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Vladimir Bogachev, Measure theory, volume 1, Springer, 2006. ISBN 3540345132
  • (EN) Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Wiley-Interscience, 1999. ISBN 0471317160
  • (EN) Serge Lang, Real and Functional Analysis, Springer, 1993. ISBN 0387940014

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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