Teorema di Hahn-Banach

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn–Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni '20.

Il teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ (che può essere quello reale $\R$ o quello complesso $\C$). Una funzione $f:V \to \R$ si dice sublineare se:

$f(\gamma x ) = \gamma f\left( x\right) \quad \forall \gamma \in \mathbb{R}_+ \quad \forall x \in V$

$f(x + y) \le f(x) + f(y) \quad \forall x,y \in V$.

Ogni seminorma su $V$, ed in particulare ogni norma su $V$, è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione $F$ è l'estensione di una funzione $f$ se il dominio di $F$ contiene quello di $f$ e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di $f$.

Enunciato

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se $\mathcal{N}: V \to \R$ è una funzione sublineare e $\varphi:U \subseteq V \to \R$ è un funzionale lineare dominato da $\mathcal{N}$ su $U$, ovvero:

$\varphi(x) \leq \mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U$

allora esiste un'estensione lineare $\psi: V \to \R$ di $\varphi$ definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare $\psi$ tale che:

$\psi(x)=\varphi(x)\quad\forall x\in U \qquad \psi(x) \le \mathcal{N}(x)\quad\forall x\in V$

L'estensione $\psi$ non è in generale unicamente determinata da $\phi$, e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare $\psi$: nel caso di uno spazio a dimensione infinita $V$, ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su $\N$ può essere leggermente indebolita assumendo che:

$N(ax + by) \le |a|N(x) + |b|N(y)$

per tutti gli $a$ e $b$ in $K$ tali che $|a|+|b|=1$.

Dimostrazione

Sia $X$ uno spazio vettoriale su $\R$ e sia $p:X\to \R$ una funzione tale che:

$p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)\quad \forall \ x,y\in X \quad \forall \ t\in [0,1]$

Sia $Y$ un sottospazio di $X$ e sia $f:Y\to \R$ una funzione lineare tale che:

$f(x)\le p(x)\quad \forall \ x\in Y$

Allora esiste una funzione lineare $F:X\to \R$ tale che:

$F(x)=f(x)\quad \forall \ x\in Y$

$F(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in X$

Per dimostrare questo fatto, sia $z\in X\setminus Y$ e si consideri il sottospazio di $X$ definito nel modo seguente:

$Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}$

Si estende $f$ su tutto $Y_z$ ponendo:

$\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z)$

dove $\tilde f(z)$ è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione $\tilde f$ è una estensione lineare di $f$.

Siano ora $y_1, y_2\in Y$ e $a,b>0$. Si ha:

$f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\le$

$(a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =$

$(a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \le$

$a p(y_1-bz) + b p(y_2+az)$

Pertanto risulta:

$a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \le -b\left(f(y_2)+p(y_2+az)\right)$

e quindi:

$\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \le \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.$

Quindi esiste $c\in \R$ tale che:

$\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \le c \le \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}$

Da tale disuguaglianza si evince che:

$ac \le p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R$

Si pone quindi:

$\tilde f(z)=c \$

Per ogni $y\in Y$ e per ogni $a\in \R$ risulta:

$\tilde f(y+az)=f(y)+ac \le p(y+az),$

cioè:

$\tilde f(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.$

Sia ora $E$ l'insieme delle estensioni lineari $e$ di $f$ tali che $e(x)\le p(x)$ per ogni $x$ appartenente al dominio di definizione di $e$. Per il punto precedente $E$ è un insieme non banale.

Si definisce in $E$ una relazione d'ordine dicendo che $e_1\le e_2$ se il dominio di definizione di $e_1$ è contenuto nel dominio di definizione di $e_2$ e $e_1$ ed $e_2$ coincidono sul dominio di definizione di $e_1$.

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$, denotato con $U=\left\{e_a, a\in A\right\}$, dove $A$ è un arbitrario insieme di indici, e sia $X_a$ il dominio di definizione di $e_a\in U$. Si pone $Y=\cup_{a\in A} X_a$ e, dato $y\in Y$, si definisce $e(y)=e_b(y)$, dove $b\in A$ è un qualsiasi indice di $A$ tale che $y\in X_b$. La definizione di $e$ è ben posta, ed $e$ è una estensione lineare di ogni $e_a\in U$. Inoltre risulta $e(x)\le p(x) \ \forall x\in Y$.

Si deduce che $e$ è un limite superiore per $U$. Essendo $U$ un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$ il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di $E$ che chiamiamo $F$. Sia $\tilde Y$ il dominio di definizione di $F$. Se si mostra che $\tilde Y=X$, il teorema è provato.

Chiaramente $\tilde Y$ è un sottospazio di $X$. Si supponga, per assurdo, che esista $z\in X\setminus \tilde Y$. Applicando il primo punto al sottospazio:

$\tilde{Y}_z\doteq \left\{y+az, \ y\in \tilde Y, \ a\in \R\right\}$

si può costruire una estensione non banale di $F$ che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di $F$ su $E$. Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

Conseguenze

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

• Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se φ : U → K è lineare e continua, allora esiste un'estensione ψ : V → K di φ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di φ (vedi spazio di Banach per una discussione sulla norma di un'applicazione lineare).
• Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se z è un elemento di V non contenuto nella chiusura di U, allora esiste un'applicazione lineare e continua ψ : V → K con ψ(x) = 0 per ogni x in U, ψ(z) = 1, e ||ψ|| = ||z||⁻¹.

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Forme geometriche

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari.

Sia $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$ e sia $f:X\to \R$ un funzionale lineare continuo non nullo. Dato $a\in \R$, l'insieme

$H\doteq\left\{x\in X: f(x)=a\right\}$

si dice iperpiano in $X$ di equazione $f=a$.

Dati due sottoinsiemi $A, B$ di $X$ non vuoti e disgiunti, diciamo che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ se risulta

$f(x)\le a\quad \forall\ x\in A$

e

$f(x)\ge a\quad \forall\ x\in B$.

Diciamo che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ in senso stretto se esiste un numero $\epsilon >0$ tale che

$f(x)\le a-\epsilon \quad \forall\ x\in A$

e

$f(x)\ge a + \epsilon \quad \forall\ x\in B$.

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$, $A, B$ due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e supponiamo che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$.

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $\R$, $A, B$ due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e supponiamo che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$ in senso stretto.

Bibliografia

• (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970. ISBN 0070542341
• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506
• Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

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