Teorema di Hahn-Banach

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn–Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia V uno spazio vettoriale sul campo K (che può essere quello reale \R o quello complesso \C). Una funzione f:V \to \R si dice sublineare se:

f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right) \quad \forall \gamma \in 
\mathbb{R}_+ \quad \forall x \in V
f(x + y) \le f(x) + f(y) \quad \forall x,y \in V.

Ogni seminorma su V, ed in particolare ogni norma su V, è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione F è l'estensione di una funzione f se il dominio di F contiene quello di f e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di f.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se \mathcal{N}:  V \to \R è una funzione sublineare e \varphi:U  \to \R è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale  U \subseteq V e \varphi è dominato da \mathcal{N} su U, ovvero

\varphi(x) \leq \mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U,

allora esiste un'estensione lineare \psi: V \to \R di \varphi definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare \psi tale che:[1]

\psi(x)=\varphi(x)\quad\forall x\in U \qquad \psi(x) \le \mathcal{N}(x)\quad\forall x\in V

L'estensione \psi non è in generale unicamente determinata da \varphi, e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare \psi: nel caso di uno spazio a dimensione infinita V, ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su \mathcal{N} può essere leggermente indebolita assumendo che:[2]

\mathcal{N}(ax + by) \le |a|\mathcal{N}(x) + |b|N(y)

per tutti gli a e b in K tali che |a|+|b|=1.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Sia X uno spazio vettoriale su \R e sia p:X\to \R una funzione tale che:

p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)\quad \forall \ x,y\in X \quad \forall \ t\in [0,1]

Sia Y un sottospazio di X e sia f:Y\to \R una funzione lineare tale che:

f(x)\le p(x)\quad \forall \ x\in Y

Allora esiste una funzione lineare F:X\to \R tale che:

F(x)=f(x)\quad \forall \ x\in Y
F(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in X

Per dimostrare questo fatto, sia z\in X\setminus Y e si consideri il sottospazio di X definito nel modo seguente:

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}

Si estende f su tutto Y_z ponendo:

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z)

dove \tilde f(z) è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione \tilde f è una estensione lineare di f.

Siano ora y_1, y_2\in Y e a,b>0. Si ha:

f(ay_1+by_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\le
(a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =
(a+b)p  \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \le
a p(y_1-bz) + b p(y_2+az)

Pertanto risulta:

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \le -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

e quindi:

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \le 
\frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2)\right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Quindi esiste c\in \R tale che:

\sup_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \le c \le
\inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}

Da tale disuguaglianza si evince che:

ac \le p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

Si pone quindi:

\tilde f(z)=c \

Per ogni y\in Y e per ogni a\in \R risulta:

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \le p(y+az),

cioè:

\tilde f(x)\le p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Sia ora E l'insieme delle estensioni lineari e di f tali che e(x)\le p(x) per ogni x appartenente al dominio di definizione di e. Per il punto precedente E è un insieme non banale.

Si definisce in E una relazione d'ordine dicendo che e_1\le e_2 se il dominio di definizione di e_1 è contenuto nel dominio di definizione di e_2 e e_1 ed e_2 coincidono sul dominio di definizione di e_1.

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di E, denotato con U=\left\{e_a, a\in A\right\}, dove A è un arbitrario insieme di indici, e sia X_a il dominio di definizione di e_a\in U. Si pone Y=\cup_{a\in A} X_a e, dato y\in Y, si definisce e(y)=e_b(y), dove b\in A è un qualsiasi indice di A tale che y\in X_b. La definizione di e è ben posta, ed e è una estensione lineare di ogni e_a\in U. Inoltre risulta e(x)\le p(x) \ \forall x\in Y.

Si deduce che e è un limite superiore per U. Essendo U un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di E il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di E che chiamiamo F. Sia \tilde Y il dominio di definizione di F. Se si mostra che \tilde Y=X, il teorema è provato.

Chiaramente \tilde Y è un sottospazio di X. Si supponga, per assurdo, che esista z\in X\setminus \tilde Y. Applicando il primo punto al sottospazio:

\tilde{Y}_z\doteq \left\{y+az, \ y\in \tilde Y, \ a\in \R\right\}

si può costruire una estensione non banale di F che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di F su E. Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

  • Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se φ : UK è lineare e continua, allora esiste un'estensione ψ : VK di φ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di φ (vedi spazio di Banach per una discussione sulla norma di un'applicazione lineare).
  • Se V è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se z è un elemento di V non contenuto nella chiusura di U, allora esiste un'applicazione lineare e continua ψ : VK con ψ(x) = 0 per ogni x in U, ψ(z) = 1, e ||ψ|| = ||z||−1.

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Forme geometriche[modifica | modifica sorgente]

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari.

Sia X uno spazio vettoriale normato su \R e sia f:X\to \R un funzionale lineare continuo non nullo. Dato a\in \R, l'insieme

H\doteq\left\{x\in X: f(x)=a\right\}

si dice iperpiano in X di equazione f=a.

Dati due sottoinsiemi A, B di X non vuoti e disgiunti, diciamo che l'iperpiano H separa A e B se risulta

f(x)\le a\quad \forall\ x\in A

e

f(x)\ge a\quad \forall\ x\in B.

Diciamo che l'iperpiano H separa A e B in senso stretto se esiste un numero \varepsilon >0 tale che

f(x)\le a-\varepsilon \quad \forall\ x\in A

e

f(x)\ge a + \varepsilon \quad \forall\ x\in B.

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach[modifica | modifica sorgente]

Siano X uno spazio vettoriale normato su \R, A, B due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di X e supponiamo che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione f=a che separa A e B.

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach[modifica | modifica sorgente]

Siano X uno spazio vettoriale normato su \R, A, B due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di X e supponiamo che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione f=a che separa A e B in senso stretto.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 105
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 75

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • Lawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui
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