Teorema di Green-Tao

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In matematica, il teorema di Green–Tao, provato da Ben Green e Terence Tao nel 2004,[1] afferma che la sequenza dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe. In altre parole, per ogni numero naturale k, esiste un numero primo a e un intero positivo b tali che anche a + 1·b, a + 2·b, ..., a + (k-1)·b siano primi. La dimostrazione consiste in un'estensione del teorema di Szemerédi.

Nel 2006, Tao e Tamar Ziegler hanno esteso il risultato alle progressioni polinomiali.[2] Più precisamente, hanno provato che, per ogni intero positivo k, dati k polinomi in un'incognita P1,..., Pk a valori interi e con termine noto nullo, esistono infiniti interi a e b tali che a + P1(b), ..., a + Pk(b) siano contemporaneamente primi. Il teorema di Green-Tao si può dedurre da questo risultato come caso particolare, in quanto applicando questo teorema ai polinomi Pj(x) = (j - 1)·x si ottiene proprio che la sequenza dei numeri primi contiene progressioni aritmetiche arbitrariamente lunghe

Questi risultati sono solo teoremi di esistenza e non mostrano come calcolare le progressioni. Nel 2007, Jaroslaw Wroblewski ha trovato il primo caso di 24 primi in progressione aritmetica:[3]

468395662504823 + 205619 × 23# × n, per n = 0, ..., 23 (23# = 223092870).

Nel 2008, Wroblewski e Raanan Chermoni hanno trovato il primo caso noto di 25 primi in progressione aritmetica:

6171054912832631 + 366384 × 23# × n, per n = 0, ..., 24.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Ben Green e Terence Tao, The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions in Annals of Mathematics, vol. 167, 2008, pp. 481-547. URL consultato il 23 febbraio 2009.
  2. ^ Terence Tao e Tamar Ziegler, The primes contain arbitrarily long polynomial progressions in Acta Mathematica, vol. 201, 2008, pp. 213-305. URL consultato il 26 aprile 2009.
  3. ^ Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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