Teorema di Glivenko-Cantelli

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Il teorema di Glivenko-Cantelli dimostra che una distribuzione empirica di una variabile casuale unidimensionale converge verso l'effettiva distribuzione.

Il teorema venne formulato nel 1933 da Valerij Ivanovič Glivenko e Francesco Paolo Cantelli.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Siano X_1 , ... , X_n variabili casuali identiche e indipendenti con la funzione di densità di probabilità o funzione di probabilità F.

Sia \hat F_n (x) := { 1 \over n } \cdot \# \{ 1 \le i \le n | X_i \le x \} una funzione di distribuzione empirica che approssima l'ignota F (dove il simbolo \# indica il numero di elementi dell'insieme).

Si definisce la massima deviazione della distribuzione empirica dalla variabile casuale che ne sta alla base come:


d_n=\sup_x | \hat F_n (x) - F (x) |.

Allora la differenza dn converge con probabilità 1 verso zero.

P(\lim_{n \to \infty} d_n = 0) = 1
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