Teorema di Ehrenfest

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In meccanica quantistica, il teorema di Ehrenfest per un'osservabile è un importante asserto che stabilisce un legame tra la meccanica classica e quantistica, affermando che le leggi del moto per i valori medi degli operatori sono le stesse leggi del moto classiche.
Il teorema si deve al fisico e matematico austriaco Paul Ehrenfest.

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Data un'osservabile A, il teorema di Ehrenfest stabilisce che:

\frac{\operatorname d \langle \hat A \rangle}{\operatorname d t} = \left \langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [\hat A, \hat H] \right \rangle


L'importanza del teorema si coglie in pieno in una sua formulazione più qualitativa:

«L'evoluzione dei valori di aspettazione di (ogni) osservabile fisica descritta dalla meccanica quantistica coincide con l'evoluzione descritta dalla meccanica classica (cfr. formulazione hamiltoniana della meccanica classica.

Le ipotesi del teorema sono del tutto generali.


Derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Per una qualsiasi osservabile fisico, il valor medio in un generico stato rappresentato dalla funzione d'onda ψ(r) è dato dall'integrale:

\langle \hat A \rangle = \int \psi^{(*)}(\vec r) \hat A \psi(\vec r) \operatorname d^3 r

Derivando questa rispetto al tempo, si ottiene:

\frac {\operatorname d \langle \hat A \rangle}{\operatorname d t} = \langle \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) | \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \frac {\partial}{\partial t} \hat A | \psi (t) \rangle + \langle \psi (t) | \hat A | \frac {\partial}{\partial t} \psi (t) \rangle

Sostituendo alle derivate della funzione d'onda la corrispondente espressione ricavata dall'equazione di Schrödinger, e considerando che l'hamiltoniano è autoaggiunto, si ottiene l'espressione iniziale del teorema.

Applicazione agli operatori momento e posizione[modifica | modifica wikitesto]

Per hamiltoniana H = \frac{p^2}{m} + V(x) non dipendente dal tempo, il teorema permette di affermare che le equazioni classiche del moto sono riottenute in valor medio nella meccanica quantistica.

Nel caso in cui si scelga \hat A = \hat x, il teorema assume infatti la forma:

\frac{\operatorname d \langle \hat x \rangle}{\operatorname d t} = \left \langle \frac{1}{i\hbar} [\hat x, \hat H] \right \rangle = \left \langle \frac{\hat p}{m} \right \rangle

Analogamente, se si pone \hat A = \hat p, si ottiene:

\frac{\operatorname d \langle \hat p \rangle}{\operatorname d t} = \left \langle \frac{1}{i\hbar} [\hat p, \hat H] \right \rangle = - \langle \nabla V \rangle

Combinando i due risultati, si ottiene infine:

 m \frac{\operatorname d ^2 \langle \hat x \rangle}{\operatorname d t^2} = - \langle \nabla V \rangle

Nella rappresentazione di Heisenberg[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema assume una forma più semplice nella rappresentazione di Heisenberg:

\frac{\operatorname d \hat A }{\operatorname d t} = \frac{\partial \hat A}{\partial t} + \frac{1}{i\hbar} [\hat A, \hat H]

Da questa risulta evidente che se \hat A non dipende dal tempo, allora esso commuta con l'hamiltoniano, descrivendo una grandezza conservativa o costante del moto. Tale interpretazione si deve ad Heisenberg.

Un'immediata applicazione di questa è il calcolo della velocità di una particella. Nel caso la velocità sia la derivata rispetto al tempo della sua posizione nel piano cartesiano, è immediato verificare che:

\hat v = \frac{1}{i\hbar} [\hat H,\hat r] = \frac{\hat p}{m}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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