Teorema di Cramér-Wold

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Il teorema di Cramér-Wold (dai suoi autori Harald Cramér e Herman Ole Andreas Wold), utilizzato nella teoria della misura afferma che una misura di probabilità di Borel in R^k è unicamente determinata dalla totalità delle sue proiezioni unidimensionali.


Siano

 \overline{X}_n = (X_{n1},\dots,X_{nk}) \;

e

 \; \overline{X} = (X_1,\dots,X_k)

vettori casuali di dimensione k. Allora  \overline{X}_n converge a  \overline{X} se e solo se:

 \sum_{i=1}^k t_iX_{ni} \frac{D}{\overrightarrow{\infty}} \sum_{i=1}^k t_iX_i.

per ogni  (t_1,\dots,t_k)\in \mathbb{R}^k Vale a dire se per ogni prefissata combinazione lineare delle coordinate di  \overline{X}_n converge in distribuzione alla corrispondente combinazione lineare di  \overline{X} .

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