Teorema di Clausius

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Il teorema di Clausius (anche conosciuto come disuguaglianza di Clausius), dimostrato nel 1854 dal fisico tedesco Rudolf Clausius, è un importante risultato della termodinamica, che pone le basi per la definizione della funzione di stato entropia, da lui stesso formulata. Il teorema afferma che[1]:

Se un sistema subisce una trasformazione ciclica in cui scambia calore con n sorgenti, vale la disuguaglianza
\sum_{i=1}^n \frac{Q_i}{T_i} \leq 0
dove T_i è la temperatura assoluta della sorgente i-esima, e Q_i il calore scambiato con essa.
Se n \rightarrow \infty e si scompone il ciclo in una serie di trasformazioni infinitesime, la sommatoria diventa un integrale:
\oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0
dove \delta Q è il calore scambiato in una trasformazione infinitesima e T è la temperatura della sorgente.
In entrambe le formule, l'uguaglianza vale solo nel caso di una trasformazione reversibile.

Poiché per un ciclo reversibile l'integrale si annulla, si può definire una funzione di stato, ovvero l'entropia S, tale che:

\delta S = \frac{\delta Q_{rev}}{T} \Rightarrow \oint \delta S = 0.


Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per dimostrare la disuguaglianza, introduciamo una sorgente con temperatura T_0 arbitraria, assieme alle altre n sorgenti con temperatura T_i. Inoltre, supponiamo di inserire n macchine di Carnot (a ciclo reversibile) tra la sorgente a T_0 e quelle a T_i.

Sia Q_i il calore scambiato tra il sistema S e la sorgente i-esima. Possiamo fare in modo che il ciclo di Carnot operante tra T_0 e T_i fornisca alla sorgente i-esima esattamente la quantità di calore Q_i ceduta a S. In tal caso, per ogni ciclo si può scrivere la relazione (data dal teorema di Carnot)

Q_{i,0} =T_0 {Q_i \over T_i}

dove Q_{i,0} è il calore sottratto alla sorgente a T_0 nel ciclo i-esimo.

Per costruzione, quindi, ogni sorgente a T_i scambia una quantità netta di calore pari a zero. La sorgente a T_0, invece, fornisce una quantità di calore totale pari a

Q_{0} = \sum_{i=1}^n Q_{i,0} = T_0 \sum_{i=1}^n {Q_i \over T_i}.

Esaminiamo ora il segno di Q_0. Si è visto che il sistema composto da S e dalle n sorgenti a T_i riceve il calore Q_0 dalla sorgente a T_0. Se Q_0 fosse positivo, il solo risultato del processo sarebbe la trasformazione ciclica in lavoro (compiuto dalle macchine di Carnot) del calore ottenuto da una sorgente omogenea. Ma ciò è impossibile, perché in aperta contraddizione con il secondo principio della termodinamica nella formulazione di Kelvin. Quindi Q_0 \leq 0, e poiché T_0 > 0 (trattandosi di una temperatura assoluta) si ottiene

\sum_{i=1}^n {Q_i \over T_i} \leq 0.

Infine, se il ciclo compiuto da S è reversibile, vale lo stesso ragionamento invertendo i segni di tutte le quantità di calore Q_i. Si troverebbe quindi

\sum_{i=1}^n {-Q_i \over T_i} \leq 0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n {Q_i \over T_i} \geq 0

e l'unico modo per soddisfare entrambe le disuguaglianze è che il risultato della somma sia nullo:

\sum_{i=1}^n {Q_i \over T_i} = 0 .

Considerando lo scambio di calore tra S ed un sistema continuo di sorgenti, ovvero con n \rightarrow \infty, la medesima dimostrazione conduce al risultato

\oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Enrico Fermi: Thermodynamics, PH 1937

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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