Teorema di Clausius

Il teorema di Clausius (anche conosciuto come disuguaglianza di Clausius), dimostrato nel 1854 dal fisico tedesco Rudolf Clausius, è un importante risultato della termodinamica, che pone le basi per la definizione della funzione di stato entropia, da lui stesso formulata.

Esso afferma che in un processo ciclico vale la relazione

$\oint \frac{\delta Q}{T} \leq 0$

dove $\delta Q$ è il calore scambiato dal sistema e T è la temperatura assoluta delle sorgenti. L'uguaglianza vale solo nel caso di un trasformazione reversibile, mentre per qualunque processo irreversibile vale il segno $<$.

Poiché per un ciclo reversibile la quantità a primo membro risulta nulla, essa risulta essere una funzione di stato. Ad essa viene dato il nome di entropia.

Dimostrazione

Si consideri una sorgente di calore $T_0$ e altre $n$ sorgenti $T_i$, dove quella più grande è a temperatura comunque minore di $T_0$.

Tra $T_0$ e le $T_i$ si inseriscano $n$ macchine di Carnot (quindi, a ciclo reversibile).

Ognuna di queste macchine scambia calore (Positivo o Negativo) con $T_0$ e per ogni macchina si può scrivere la relazione ${Q' \over T_0}={Q \over T_i}$, e quindi $Q'={T_0 \over T_i}Q$.

Se si vuole considerare il $Q'_{tot}$ come somma delle $N Q'$, si avrà la sommatoria di $\sum_{i=1}^N {T_0 \over T_i}Q_i$ e questa quantità sarà minore o uguale a $0$, ovvero:

$\sum_{i=1}^N {T_0 \over T_i}Q_i \le 0$

Essendo $T_0$ un temperatura in kelvin e quindi sempre $>0$ la sommatoria di ${Q_i \over T_i}$ è $\le 0$.

Estendendo il ragionamento a considerare un numero infinito di sorgenti $i$ la sommatoria diventa la circuitazione (integrale chiuso) $\oint {\delta Q \over T},$ e questo sarà sempre $\le 0$.

Voci correlate

• Ciclo termodinamico
• Teorema di Carnot (termodinamica)
• Entropia

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