Teorema di Caristi

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In matematica, il Teorema di punto fisso di Caristi (noto anche come Teorema di Caristi-Kirk) generalizza il teorema di Banach per applicazioni di uno spazio metrico completo in sé. Il teorema di punto fisso di Caristi è una variante dell'ε-principio variazionale di Ekeland (1974, 1979). Inoltre, la conclusione del teorema di Caristi è equivalente alla completezza metrica, come dimostrato da Weston (1977). Il risultato originale è dovuto ai matematici James Caristi e William Arthur Kirk.

Enunciato[modifica | modifica sorgente]

Sia (Xd) uno spazio metrico completo. Sia T : X → X una funzione continua da X in sé, e sia f : X → [0, +∞) una funzione semicontinua inferiormente da X in [0,+\infty).

Si supponga che per tutti i punti x in X, valga

d \big( x, T(x) \big) \leq f(x) - f \big( T(x) \big).

Allora T ha un punto fisso in X, ossia esiste un punto x0 tale che T(x0) = x0.

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