Teorema della proiezione

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In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto x in uno spazio di Hilbert H e per ogni insieme convesso chiuso C \subset H esiste un unico y \in C tale per cui la distanza \lVert x - y \rVert assume il valore minimo su C. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso M di H: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per y è che il vettore  x-y sia ortogonale a M.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per mostrare l'esistenza di y, sia \delta la distanza tra x e C, sia (y_n) una successione in C tale per cui la distanza al quadrato tra x e y_n è minore o uguale a \delta^2 + 1 / n. Se n e m sono due interi allora:

\| y_n - y_m \|^2 = \|y_n -x\|^2 + \|y_m -x\|^2 - 2 \langle y_n - x \, , \, y_m - x\rangle

e:

4 \| \frac{y_n + y_m}2 -x \|^2 = \|y_n -x\|^2 + \|y_m -x\|^2 + 2 \langle y_n - x \, , \, y_m - x\rangle

Si ha quindi:

\| y_n - y_m \|^2 = 2\|y_n -x\|^2 + 2\|y_m -x\|^2 - 4\| \frac{y_n + y_m}2 -x \|^2

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra y_n e y_m appartengono a C (e quindi hanno una distanza da x maggiore o uguale a \delta), si ottiene:

\| y_n - y_m \|^2 \; \le \; 2\left(\delta^2 + \frac 1n\right) + 2\left(\delta^2 + \frac 1m\right) - 4\delta^2=2\left( \frac 1n + \frac 1m\right)

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che (y_n) è una successione di Cauchy. Essendo C completo, la successione converge in un punto y \in C la cui distanza da x è minima.

Per mostrare l'unicità di y, siano y_1 e y_2 due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

\| y_2 - y_1 \|^2 = 2\|y_1 -x\|^2 + 2\|y_2 -x\|^2 - 4\| \frac{y_1 + y_2}2 -x \|^2

Dato che (y_1 + y_2) / 2 appartiene a C si ha:

\| \frac{y_1 + y_2}2 -x \|^2\geq \delta^2

e quindi:

\| y_2 - y_1 \|^2 \leq 2\delta^2 + 2\delta^2 - 4\delta^2=0 \,

Pertanto y_1=y_2, che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su y nel caso in cui C=M è un sottospazio chiuso, sia z\in M tale che \langle z-x, a \rangle=0 per tutti gli a\in M. La condizione è sufficiente in quanto:

\|x-a\|^2=\|z-x\|^2+\|a-z\|^2+2\langle z-x, a-z \rangle=\|z-x\|^2+\|a-z\|^2

che prova il fatto che z è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo y\in M un "minimizzatore". Sia a\in M e t\in\mathbb R. Allora:

\|(y+t a)-x\|^2-\|y-x\|^2=2t\langle y-x,a\rangle+t^2 \|a\|^2=2t\langle y-x,a\rangle+O(t^2)

è sempre non negativa. Quindi, \langle y-x,a\rangle=0.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • (EN) Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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