Teorema della farfalla

Nella geometria euclidea, il teorema della farfalla afferma che:

Sia M il punto medio di una corda PQ di un cerchio e siano AB e CD altre due corde passanti per M che intersechino PQ rispettivamente in X e in Y. Allora M sarà il punto medio di XY.

Dimostrazione

Dimostrazione del Teorema della farfalla

Siano $XX'$ e $XX''$ le perpendicolari, condotte da $X$, rispettivamente a $AM$ e a $DM$. In modo analogo, siano $YY'$ e $YY''$ le perpendicolari, condotte da $Y$, rispettivamente a $BM$ e a $CM$.

Adesso, poiché

$\triangle MXX' \sim \triangle MYY',\,$

${MX \over MY} = {XX' \over YY'},$

$\triangle MXX'' \sim \triangle MYY'',\,$

${MX \over MY} = {XX'' \over YY''},$

$\triangle AXX' \sim \triangle CYY'',\,$

${XX' \over YY''} = {AX \over CY},$

$\triangle DXX'' \sim \triangle BYY',\,$

${XX'' \over YY'} = {DX \over BY},$

Dalle precedenti equazioni, si può facilmente dedurre che

$\left({MX \over MY}\right)^2 = {XX' \over YY' } {XX'' \over YY''},$

${} = {AX.DX \over CY.BY},$

${} = {PX.QX \over PY.QY},$

${} = {(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)},$

${} = { (PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2},$

poiché $PM$ = $MQ$

Ora,

${ (MX)^2 \over (MY)^2} = {(PM)^2 - (MX)^2 \over (PM)^2 - (MY)^2}.$

Pertanto, possiamo concludere che $MX = MY,$, ovvero $M$ è il punto medio di $XY.$

Bibliografia

H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, MAA, 1967.

Collegamenti esterni

• The Butterfly Theorem su cut-the-knot
• A Better Butterfly Theorem su cut-the-knot
• Proof of Butterfly Theorem su PlanetMath
• The Butterfly Theorem di Jay Warendorff, da Wolfram Demonstrations Project.
• (EN) Eric W. Weisstein, Teorema della farfalla su MathWorld.

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