Teorema dell'infinità dei numeri primi

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Il teorema dell'infinità dei numeri primi esprime il fatto che, per quanto grande si scelga un numero naturale n, esiste sempre un numero primo maggiore di n.

È stato dimostrato per la prima volta da Euclide nei suoi Elementi (libro IX, proposizione 20), ma ne sono state trovate molte altre dimostrazioni, che usano una gran varietà di tecniche diverse: ad esempio Eulero lo ricavò dalla divergenza della serie armonica e dalla possibilità di scrivere ogni numero come prodotto di numeri primi; Christian Goldbach usò i numeri di Fermat, mentre Harry Furstenberg ne ideò una che sfrutta i metodi della topologia.[1]

Alcune di queste (quella di Euclide, di Goldbach e un'altra che usa i numeri di Mersenne) si basano su una strategia simile, ovvero dimostrare che esiste una successione infinita di numeri che sono a due a due coprimi, da cui segue necessariamente l'infinità dei numeri primi.

Dimostrazioni[modifica | modifica wikitesto]

Dimostrazione di Euclide[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione, molto semplice in termini moderni, è esposta negli Elementi di Euclide e può a buon diritto essere considerata la prima dimostrazione di un teorema di teoria dei numeri.

La dimostrazione avviene per assurdo, con il seguente ragionamento:

Si supponga che i numeri primi non siano infiniti ma solo P={2, 3, ..., pn}; pn sarebbe allora il più grande dei numeri primi. Ora sia a∈N il prodotto degli n numeri primi, e consideriamo a+1. Questo numero non è divisibile per 2, perché lo è a e quindi ha resto 1. Non è divisibile neanche per 3, per lo stesso motivo...in generale, detto pi l'i-esimo numero primo, la divisione (a+1)/pi ha sempre resto 1: infatti assumendo (a+1) come dividendo, pi come divisore, q∈N come quoziente della divisione, è sufficiente dimostrare che (a+1)-(q*pi)=1, cioè che a=(q*pi)assunto come ipotesi.

A questo punto, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, sono possibili due casi:

1° o a+1 è primo, e ovviamente essendo maggiore di pn quest'ultimo non è il più grande dei numeri primi;

2° o a+1, non essendo primo, è il prodotto di numeri primi che non possono figurare tra gli n ipotizzati (in quanto, come abbiamo appena mostrato, nessun pi divide a+1) e che devono quindi essere maggiori di pn; anche in questo caso segue che pn non è il più grande dei numeri primi.

In entrambi i casi si perviene alla conclusione che non può non esistere un numero primo più grande pn e dunque i numeri primi sono infiniti.

In realtà, solo pochi dei numeri a+1 (detti numeri di Euclide) così trovati sono primi, perché il divario tra pn e a cresce circa come il fattoriale, e quindi c'è sempre più possibilità che a+1 abbia un divisore tra pn e \sqrt{a+1}.

Una conseguenza immediata di questa dimostrazione è la seguente disuguaglianza:

p_{n+1} < p_1 p_2 ... p_n

La disuguaglianza di Bonse e le sue generalizzazioni forniscono risultati più forti.

Corollario[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi primo fattoriale.

Un interessante corollario, che è evidente rigirando la dimostrazione, è che esiste un intervallo, grande a piacere, tra successivi numeri primi. Infatti se vogliamo avere un intervallo di 99 numeri consecutivi senza primi, ad esempio, prendiamo il fattoriale di 100, ossia 100!. Questo numero, enorme, è divisibile per tutti i numeri tra 2 e 100. Se chiamiamo k uno di questi numeri, 100! e 100!+k sono entrambi divisibili per k. Abbiamo quindi 99 numeri consecutivi senza primi, da 100!+2 a 100!+100.

Dimostrazione di Eulero[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione di Eulero parte dal fatto che la serie armonica:

S = 1+\frac 1 2 + \frac 1 3 + ... +\frac 1 n +...

è divergente.

Eulero osserva che la serie armonica può vedersi come il prodotto di queste serie geometriche, una per ogni numero primo:

S_2 =  1+\frac 1 2 + \frac 1 4 + \frac 1 8 +... +\frac 1 {2^n} ... = 2

S_3 =  1+\frac 1 3 + \frac 1 9 + \frac 1 {27} +... +\frac 1 {3^n} ... = \frac 3 2

S_5 =  1+\frac 1 5 + \frac 1 {25} + \frac 1 {125} +... +\frac 1 {5^n} ... = \frac 5 4

...

Le serie si calcolano facilmente ricordando che S_n = \frac 1 {1 - \frac 1 n} (vedi serie geometrica)

Infatti la serie armonica è la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali e ogni numero naturale può rappresentarsi come il prodotto dei suoi fattori primi. Ci si convince allora facilmente che ogni elemento della serie armonica corrisponde a un possibile prodotto di elementi presi uno ad uno dalle serie suddette. Per esempio per l'elemento 1/15:

 \frac 1 {15} = 1 \times \frac 1 3 \times \frac 1 5 \times 1 \times 1 ...

D'altra parte le serie S_2, S_3, S_5, S_7 ... sono tutte finite. Ma allora se i numeri primi fossero finiti, il loro prodotto sarebbe anch'esso finito, mentre sappiamo che la serie armonica diverge.

Ne segue che i numeri primi devono essere infiniti.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Harry Furstenberg, On the infinitude of primes in Amer. Math. Monthly, vol. 62, nº 5, 1955, p. 353, DOI:10.2307/2307043.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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