Teorema dell'elemento primitivo

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In matematica, più precisamente in teoria dei campi, il teorema dell'elemento primitivo fornisce una caratterizzazione delle estensioni che sono semplici (e cioè che possono essere generate dall'aggiunta di un unico elemento detto elemento primitivo).

Teorema dell'elemento primitivo[modifica | modifica wikitesto]

Un'estensione di campi L/K è finita e semplice se e solo se ci sono solo un numero finito di intercampi F (cioè un campo tale che KFL).

In questa forma, il teorema è raramente usato, mentre è molto usato il seguente corollario:

Ogni estensione separabile finita L/K è semplice (o, equivalentemente, ha un elemento primitivo).

Concretamente, il corollario afferma che ogni estensione separabile L/K di grado n è generata da un unico elemento u zero di un polinomio di grado n, xn +c1xn-1+..+cn=0, con coefficienti in K. L' elemento primitivo u fornisce una base [1,u,u2,...,un-1] per L su K. Questo corollario si applica ai campi di numeri, che sono estensioni finite dei numeri razionali Q, dato che Q ha caratteristica 0 e quindi ogni estensione su Q è separabile.

Per le estensioni non separabili, si può dare solo l'enunciato seguente:

Se il grado [L:K] è primo, allora L/K ha un elemento primitivo.

Se il grado non è primo e l'estensione non è separabile, si possono trovare dei controesempi all'enunciato precedente. Per esempio se K è Fp(x,y), il campo delle funzioni razionali in due indeterminate x e y sul campo finito con p elementi, e L è il campo ottenuto aggiungendo a K una radice p-esima di x e una di y, allora non c'è alcun elemento primitivo per L su K. Infatti si può mostrare che [L:K] = p2 e che per ogni α in L l'elemento αp sta in K e quindi [K(α):K] ≤ p. Di conseguenza non può esserci alcun elemento primitivo per l'estensione F_p(\sqrt[p] x,\sqrt[p] y)/F_p(x,y).

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Per esempio, non è ovvio che, l'estensione K = Q(√2, √3)/Q (di grado 4 su Q) ottenuta aggiungendo a Q le radici dei polinomi

X2 − 2

e

X2 − 3,

sia semplice e dunque che esista un elemento primitivo in K per tale estensione. Si può verificare che una possibile scelta di un elemento primitivo è √2 + √3.

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