Teorema del sollevamento dell'omotopia

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Il teorema di sollevamento dell'omotopia è un teorema di matematica, e più precisamente di topologia, che collega le nozioni di rivestimento e di omotopia.

Definizione di sollevamento[modifica | modifica sorgente]

Sia  p: E \to X un rivestimento e  f : Y \to X un'applicazione continua fra spazi topologici. Un sollevamento di  f è una applicazione continua  g:Y\to E tale che:

 f = p\circ g.

Enunciato del teorema[modifica | modifica sorgente]

Siano dati un rivestimento fra spazi topologici

p:E\to X\,\!

e due funzioni continue

F: I^2 \to X, \quad a:I \to E

due applicazioni continue definite sull'intervallo  I =[0,1] e sul quadrato I^2 , tali che  p(a(t)) =  F(t, 0) per ogni t .

Allora esiste, ed è unico, un sollevamento

 G: I^2 \to E\,\!

di F tale che  G(t, 0) = a(t) per ogni t .

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Basta dimostrare l'esistenza: l'unicità segue dalla connessione di I^2 e dal Teorema di unicità del sollevamento.

La costruzione del sollevamento  G è invece fatta sfruttando la semplice connessione e la compattezza di I^2 . Grazie alla compattezza esiste un N > 0 tale che ogni quadratino

Q_{i,j} = \left[\frac iN,\frac{i+1}N\right]\times \left[\frac jN,\frac{j+1}N\right]

contenuto in  I^2 (quindi con i<N, j<M ) ha immagine  F(Q_{i,j}) contenuta in un aperto uniformemente rivestito. Quindi la funzione  F , ristretta al quadratino Q_{i,j} , ammette un sollevamento. I quadratini  Q_{i,j} ricoprono il quadrato  I^2 : grazie alla semplice connessione, tutti questi sollevamenti possono quindi essere "incollati" coerentemente in modo da formare un sollevamento  G con le proprietà richieste.

Corollario[modifica | modifica sorgente]

Siano p: E \to X un rivestimento e f : S^2 \to X un'applicazione continua. Per ogni coppia di punti y ∈ S2, e ∈ p−1(f(y)) esiste un unico sollevamento g : S2 → E dell'applicazione f tale che g(y) = e.

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