Teorema del consenso

Il teorema del consenso è estremamente utile nella semplificazione di una espressione Booleana. In una espressione del tipo $x y+ \bar x z+ yz$ si dimostra che il termine $yz$ è ridondante e può essere eliminato semplficando l'espressione originaria in $xy+ \bar x z$. Infatti se $yz=1$ si deve avere $y=1$ e $z=1$ e pertanto uno qualsiasi dei due termini $xy$ e $\bar x z$ deve valere $1$, sia che valga $\bar x =1$ oppure valga $x =1$.

Teorema del Consenso

$x y+ \bar x z+ yz=xy+ \bar x z$

Dimostrazione La prova del teorema è molto semplice in quanto basta verificare che il primo termine a sinistra dell'uguaglianza è equivalente al secondo.

$\begin{alignat}{3} xy+ \bar x z+ yz &= xy + \bar xz + yz ( x + \bar x)\\ &= xy + \bar x z + xyz + \bar x yz)\\ &= xy + xyz+ \bar x z + \bar x yz)\\ &= xy(1 + z)+ \bar x z (1+y)\\ &= xy(1)+ \bar x z (1)\\ &= xy + \bar x z \\ \end{alignat}$

Il termine ridondante $yz$ è detto termine di consenso e rappresenta il consenso dei termini $xy$ e $\bar x z$. In generale, dati due termini in cui una variabile compare in un termine e il complemento della stessa variabile compare nell'altro, il termine di consenso è formato dal prodotto dei due termini in questione eliminando da essi la variabile e il suo complemento.

Ad esempio il consenso di $xyz$ e $\bar y w z$ è $(xz) (w z)=xw$.

Forma Duale del Teorema del Consenso

$(x + y)(\overline x + z)(y + z) = (x + y)( \overline x + z)$

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