Teorema del consenso

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Il teorema del consenso è estremamente utile nella semplificazione di una espressione Booleana. In una espressione del tipo  x y+ \bar x z+ yz si dimostra che il termine yz è ridondante e può essere eliminato semplificando l'espressione originaria in xy+ \bar x z. Infatti se yz=1 si deve avere y=1 e z=1 e pertanto uno qualsiasi dei due termini  xy e \bar x z deve valere  1, sia che valga \bar x =1 oppure valga x =1.


Teorema del Consenso

 x y+ \bar x z+ yz=xy+ \bar x z


Dimostrazione La prova del teorema è molto semplice in quanto basta verificare che il primo termine a sinistra dell'uguaglianza è equivalente al secondo.

\begin{alignat}{3}
xy+ \bar x z+ yz &= xy +  \bar xz + yz ( x + \bar x)\\
&= xy +  \bar x z + xyz + \bar x yz\\
&= xy +  xyz+ \bar x z + \bar x yz\\
&= xy(1 + z)+ \bar x z (1+y)\\
&= xy(1)+ \bar x z (1)\\
&= xy + \bar x z \\
\end{alignat}

Il termine ridondante yz è detto termine di consenso e rappresenta il consenso dei termini  xy e \bar x z. In generale, dati due termini in cui una variabile compare in un termine e il complemento della stessa variabile compare nell'altro, il termine di consenso è formato dal prodotto dei due termini in questione eliminando da essi la variabile e il suo complemento.

Ad esempio il consenso di xyz e \bar y w z è (xz) (w z)=xw.


Forma Duale del Teorema del Consenso

(x + y)(\overline x + z)(y + z) = (x + y)( \overline x + z)


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