Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

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In elettronica e telecomunicazioni il teorema del campionamento è uno dei teoremi base della teoria dei segnali e mette in relazione il contenuto di un segnale campionato con la frequenza di campionamento e le componenti minime e massime di frequenza del segnale analogico originale, definendo così la minima frequenza necessaria per campionare un segnale analogico senza perdere informazioni e per poter quindi ricostruire il segnale analogico tempo continuo originario, detta frequenza di Nyquist o cadenza di Nyquist

In particolare il teorema afferma che, sotto opportune ipotesi, in una conversione analogico-digitale la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare ambiguità e perdita di informazione nella ricostruzione del segnale analogico originario (ovvero nella riconversione digitale-analogica) con larghezza di banda finita e nota è pari al doppio della sua frequenza massima.

Il teorema, comparso per la prima volta nel 1949 in un articolo di C. E. Shannon, dovrebbe chiamarsi Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon (WNKS), secondo l'ordine cronologico di chi ne dimostrò versioni via via più generalizzate.

Segnale analogico

Segnale analogico campionato

[modifica] Premesse

Il campionamento è il primo passo del processo di conversione analogico-digitale di un segnale. Consiste nel prelievo di campioni (samples) da un segnale analogico e continuo nel tempo ogni $\Delta t\,\!$ secondi. $\Delta t\,\!$ è l'intervallo di campionamento, mentre $f_s = \frac{1}{\Delta t}$ è la frequenza di campionamento. Il risultato è un segnale analogico in tempo discreto. Tale segnale sarà in seguito quantizzato, codificato e quindi reso accessibile a qualsiasi elaboratore digitale.

In pratica il teorema del campionamento pone un vincolo per la progettazione di apparati di conversione analogico-digitale: se si ha a disposizione un campionatore che lavora a frequenza $f_s\,\!$ , è necessario mandargli in ingresso un segnale a banda limitata da $\frac{f_s}{2}\,\!$ .
In generale un segnale analogico non è limitato in frequenza, ma dovrà essere filtrato per eliminare le componenti di frequenza maggiore di $\frac{f_s}{2}\,\!$ , a tale scopo si usa un filtro anti-alias.

Il teorema del campionamento è utilizzato molto spesso anche in analisi statistica per stabilire il numero di esperimenti da eseguire per collezionare un numero di dati (campioni) sufficienti per poter ricostruire correttamente una funzione non nota in alcuni punti, per esempio in punti inaccessibili a causa di vincoli fisici oppure semplicemente per ottenere dati tra due punti campionati tramite un esperimento. Congiuntamente a spline e a funzioni di regressione permette di eseguire analisi piuttosto elaborate su segnali di origine fisica (temperature, pressioni, conteggio di globuli bianchi e rossi, conteggio di stelle...)

[modifica] Enunciato

Un segnale $s(t)\,\!$ a banda limitata da $f_M\,\!$ può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni $s(n\Delta t)\ (n\in \mathbb{Z})\,\!$ presi a frequenza $f_s=\frac{1}{\Delta t}\,\!$ , se $f_s > 2f_M\,\!$ .

[modifica] Dimostrazione

Sia $F(\omega)\,\!$ la Trasformata di Fourier di $f(t)\,\!$ . Poiché $f(t)\,\!$ ha come limite di banda $f_M\,\!$ , risulta $F(\omega)=0\,\!$ per $|\omega|> 2\pi f_M\,\!$ . Sia $W=\frac{f_s}{2}\,\!$ , allora per ipotesi: $W\ge f_M\ \longrightarrow\ F(\omega)=0 \ \forall \ |\omega| > 2 \pi W\,\!$ .

Fig. 1: La funzione $F(\omega)\,\!$

Sia $Q(\omega)\,\!$ la funzione periodica di periodo $4\pi W\,\!$ che coincide con $F(\omega)\,\!$ nell'intervallo $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ .

Fig. 2: La funzione $Q(\omega)\,\!$ è la trasformata di fourier del segnale campionato $f(n\Delta t)\,\!$ . Come si nota è periodica di periodo $4\pi W\,\!$ e coincide con $F(\omega)\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ .

Il suo sviluppo in serie di Fourier sarà:

$Q(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j\frac{n}{2W}\omega}\qquad \textrm{dove}\qquad c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}Q(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega\,\!$

Poiché $Q(\omega) = F(\omega)\,\!$ in $[-2\pi W,2\pi W]\,\!$ possiamo porre:

$c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega$

$(1)\,\!$

Osserviamo ora che $f(t)\,\!$ è l'antitrasformata di Fourier di $F(\omega)\,\!$ , cioè:

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

$(2)\,\!$

Dalle $(1)\,\!$ e $(2)\,\!$ si ottiene:

$c_n=\frac{1}{2W}f(-\frac{n}{2W})=\Delta t f(-n\Delta t)\ \textrm{Ricordiamo}\ \textrm{che:}\ W=\frac{f_s}{2}=\frac{1}{2\Delta t} \,\!$

Definiamo:

$rett_W(\omega)=\left\{\begin{matrix} 1\ & \textrm{se}\ |\omega|\le 2\pi W\\ 0\ & \textrm{se}\ |\omega|>2\pi W \end{matrix}\right.\,\!$

allora:

$F(\omega)\,\!$	$=Q(\omega)\cdot rett_W(\omega)\,\!$
	$=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{j\frac{n}{2W}\omega}rett_W(\omega)\,\!$
	$=\Delta t\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(-n\Delta t) e^{jn\Delta t\omega}rett_W(\omega)\,\!$	$(3)\,\!$

$f(t)\,\!$	$=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]\,\!$
	$=\Delta t\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k\Delta t)\frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t}t-k\pi)}{\pi(t-k\Delta t)}\,\!$	$(4)\,\!$

La $(3)\,\!$ e la $(4)\,\!$ mostrano che $F(\omega)\,\!$ ,e quindi anche la sua antitrasformata $f(t)\,\!$ , possono essere ricostruite sulla base della conoscenza di $f(n\Delta t)\,\!$ , come volevasi dimostrare.

[modifica] Spiegazione

Fig. 3: Se $F(\omega)\,\!$ ha componenti in frequenza maggiori di $\frac{F_s}{2}\,\!$ allora le ripetizioni periodiche di $Q(\omega)\,\!$ si sovrappongono ed il segnale ricostruito $(4)\,\!$ risulta distorto.

Lo spettro di un segnale campionato (Fig. 2 e 3) è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente in frequenza. Il periodo di questa ripetizione è uguale alla frequenza di campionamento $f_s\,\!$ , quindi se la frequenza massima del segnale originale supera $\frac{f_s}{2}\,\!$ (Fig. 3) le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono. Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale (l'ipotesi alla base del passaggio (1) non è più soddisfatta) e tale ricostruzione risulterà distorta (aliasing). Per questo motivo ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il ruolo di tale filtro è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato $\frac{f_s}{2}\,\!$ .

[modifica] Nota

Se si ha a disposizione un apparato di conversione A/D che lavora ad una data frequenza $f_s\,\!$ e si è interessati alle componenti di un segnale che superano $\frac{f_s}{2}\,\!$ si possono seguire strade diverse:

Comprare uno strumento più veloce
Utilizzare tecniche di sottocampionamento

La seconda opzione è realizzabile quando le frequenze di interesse sono racchiuse in un range $\Delta f = f_{max}-f_{min} < \frac{f_s}{2}\,\!$ , anche se sia $f_{max}\,\!$ che $f_{min}\,\!$ superano $\frac{f_s}{2}\,\!$ (quello che conta è la differenza). In questo caso tuttavia il limite imposto dal teorema del campionamento non è più sufficiente a garantire un campionamento corretto.