Teorema del campionamento di Nyquist-Shannon

In elettronica e telecomunicazioni il teorema del campionamento è uno dei teoremi base della teoria dei segnali e mette in relazione il contenuto di informazione di un segnale campionato con la frequenza di campionamento e le componenti minime e massime di frequenza del segnale analogico originale, definendo così la minima frequenza necessaria per campionare un segnale analogico senza perdere informazioni e per poter quindi ricostruire il segnale analogico tempo continuo originario, detta frequenza di Nyquist o cadenza di Nyquist.

In particolare il teorema afferma che, sotto opportune ipotesi, in una conversione analogico-digitale la minima frequenza di campionamento necessaria per evitare ambiguità e perdita di informazione nella ricostruzione del segnale analogico originario (ovvero nella riconversione digitale-analogica) con larghezza di banda finita e nota è pari al doppio della sua frequenza massima.

Il teorema, comparso per la prima volta nel 1949 in un articolo di C. E. Shannon, dovrebbe chiamarsi Whittaker-Nyquist-Kotelnikov-Shannon (WNKS), secondo l'ordine cronologico di chi ne dimostrò versioni via via più generalizzate.

Segnale analogico

Segnale analogico campionato

Il teorema

Il campionamento è il primo passo del processo di conversione analogico-digitale di un segnale. Consiste nel prelievo di campioni (samples) da un segnale analogico e continuo nel tempo ogni $\Delta t\,\!$ secondi. Il valore $\Delta t$ è detto intervallo di campionamento, mentre $f_s = \frac{1}{\Delta t}$ è la frequenza di campionamento. Il risultato è un segnale analogico in tempo discreto, che viene in seguito quantizzato, codificato e reso accessibile a qualsiasi elaboratore digitale.

Il teorema del campionamento pone un vincolo per la progettazione di apparati di conversione analogico-digitale: se si ha a disposizione un campionatore che lavora a frequenza $f_s$, è necessario mandargli in ingresso un segnale a banda limitata da $\frac{f_s}{2}$. In generale, tuttavia, un segnale analogico non è limitato in frequenza, ma deve essere filtrato per eliminare le componenti di frequenza maggiore di $\frac{f_s}{2}$: a tale scopo si usa un filtro anti-alias.

Il teorema del campionamento è utilizzato molto spesso anche in analisi statistica per stabilire il numero di esperimenti da eseguire per collezionare un numero di dati (campioni) sufficienti per poter ricostruire correttamente una funzione non nota in alcuni punti, per esempio in punti inaccessibili a causa di vincoli fisici oppure semplicemente per ottenere dati tra due punti campionati tramite un esperimento. Congiuntamente a spline e a funzioni di regressione permette di eseguire analisi piuttosto elaborate su segnali di origine fisica (temperature, pressioni, conteggio di globuli bianchi e rossi, conteggio di stelle...)

Enunciato

Un segnale analogico $s(t)$, la cui banda di frequenze sia limitata dalla frequenza $f_M$, può essere univocamente ricostruito a partire dai suoi campioni $s(n\Delta t)\ (n\in \mathbb{Z})$ presi a frequenza $f_s=\frac{1}{\Delta t}$ se $f_s > 2f_M$.

Dimostrazione

La funzione $F(\omega)$

La funzione $Q(\omega)$ è la trasformata di fourier del segnale campionato $f(n\Delta t)$. Come si nota è periodica di periodo $4\pi W$ e coincide con $F(\omega)$ in $[-2\pi W,2\pi W]$.

Sia $F(\omega)$ la trasformata di Fourier di $f(t)$. Poiché $f(t)$ ha come limite di banda $f_M$, risulta $F(\omega)=0$ per $|\omega|> 2\pi f_M$. Sia $W=\frac{f_s}{2}$, allora per ipotesi se $W\ge f_M$ si ha che $F(\omega)=0$ per ogni $|\omega| > 2 \pi W$. Sia $Q(\omega)$ la funzione periodica di periodo $4\pi W$ che coincide con $F(\omega)$ nell'intervallo $[-2\pi W,2\pi W]$. Il suo sviluppo in serie di Fourier è dato da:

$Q(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{j\frac{n}{2W}\omega}$

dove:

$c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}Q(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega$

Poiché $Q(\omega) = F(\omega)$ in $[-2\pi W,2\pi W]$ si può porre:

$c_n=\frac{1}{4\pi W}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{-j\frac{n}{2W}\omega}d\omega$

Dato che $f(t)$ è l'antitrasformata di Fourier di $F(\omega)$, cioè:

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega=\frac{1}{2\pi}\int_{-2\pi W}^{2\pi W}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$

dalle precedenti due relazioni si ottiene:

$c_n=\frac{1}{2W}f(-\frac{n}{2W})=\Delta t f(-n\Delta t) \qquad W=\frac{f_s}{2}=\frac{1}{2\Delta t} \,\!$

Definendo:

$rett_W(\omega)=\left\{\begin{matrix} 1\ & \textrm{se}\ |\omega|\le 2\pi W\\ 0\ & \textrm{se}\ |\omega|>2\pi W \end{matrix}\right.$

allora:

$F(\omega) =Q(\omega)\cdot rett_W(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{j\frac{n}{2W}\omega}rett_W(\omega)=\Delta t\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(-n\Delta t) e^{jn\Delta t\omega}rett_W(\omega)$

e inoltre antitrasformando:

$f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)]=\Delta t\sum_{k=-\infty}^{+\infty} f(k\Delta t)\frac{\sin(\frac{\pi}{\Delta t}t-k\pi)}{\pi(t-k\Delta t)}$

Queste equazioni mostrano che $F(\omega)$, e quindi anche la sua antitrasformata $f(t)$, possono essere ricostruite sulla base della conoscenza di $f(n\Delta t)$, come volevasi dimostrare.

Spiegazione

Se $F(\omega)$ ha componenti in frequenza maggiori di $\frac{F_s}{2}$ allora le ripetizioni periodiche di $Q(\omega)$ si sovrappongono ed il segnale ricostruito risulta distorto.

Lo spettro di un segnale campionato è uguale allo spettro del segnale originale ripetuto periodicamente con periodo uguale alla frequenza di campionamento $f_s$: se la frequenza massima del segnale originale supera $\frac{f_s}{2}$ le ripetizioni nello spettro del segnale campionato si sovrappongono. Questa sovrapposizione rende impossibile l'esatta ricostruzione del segnale originale (l'ipotesi alla base del primo passaggio della dimostrazione non è più soddisfatta) e tale ricostruzione risulterà distorta (il fenomeno è detto aliasing). Per questo motivo, ogni apparato di conversione analogico-digitale ha un filtro anti-alias a monte del campionatore, il cui ruolo è quello di eliminare dal segnale in ingresso le componenti di frequenza maggiori della metà della frequenza di campionamento dell'apparato $\frac{f_s}{2}$.

Se si ha a disposizione un apparato di conversione A/D che lavora ad una data frequenza $f_s$ e si è interessati alle componenti di un segnale che superano $\frac{f_s}{2}$ si possono seguire strade diverse: utilizzare uno strumento più veloce o utilizzare tecniche di sottocampionamento. La seconda opzione è realizzabile quando le frequenze di interesse sono racchiuse in un range del tipo:

$\Delta f = f_{max}-f_{min} < \frac{f_s}{2}$

e questo è possibile anche se sia $f_{max}$ che $f_{min}$ superano $\frac{f_s}{2}$. In questo caso, tuttavia, il limite imposto dal teorema del campionamento non è più sufficiente a garantire un campionamento corretto.

Voci correlate

• Trasformata di Fourier
• Aliasing
• Campionamento (teoria dei segnali)
• Dithering

Collegamenti esterni

• spazioscuola.altervista.org

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