Teorema del ballottaggio

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Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Ballottaggio.

Il teorema del ballottaggio prende il nome dal problema che originariamente si pone obiettivo di risolvere:

Data un'elezione con n voti validi e due soli candidati A e B che ricevono rispettivamente a e b, dove a>b (e ovviamente a+b=n), qual è la probabilità che, nello spoglio dei voti, A risulti in ogni momento (a parte ovviamente che all'inizio) strettamente in vantaggio su B?

La risposta è sorprendentemente semplice: questa probabilità è \frac{a-b}{a+b}, ovvero, espressa in percentuale, \alpha - \beta, dove \alpha e  \beta sono rispettivamente le percentuali di voti di a e b.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Per dimostrare questo risultato, si può passare attraverso il principio di riflessione.

Sia n=a+b (il numero di votanti). Partizioniamo T, l'insieme di tutti i possibili scrutini (formalmente, di tutte le n-uple ordinate di voti), in 3 sottoinsiemi:

  • N^+, che contiene tutti i possibili scrutini in cui il primo voto scrutinato va ad A e che vedono, in un certo momento, una situazione di pareggio
  • N^-, che contiene tutti i possibili scrutini in cui il primo voto scrutinato va a B (siccome A nel complesso ha ricevuto più voti, va da sé che anche in questi scrutini si assiste, prima o poi, ad almeno una situazione di pareggio)
  • S, che contiene tutti i possibili scrutini che vedono A sempre in vantaggio (quelli che ci interessano)

Ad esempio, se prendiamo il caso in cui a=7, b=4, n=11, e rappresentiamo ogni voto per A con 1 e ogni voto per B con -1 abbiamo che:

  • (1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 1 -1)  \in N^+ , perché 1+1-1-1=0,
  • (-1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1)  \in N^- , perché il primo voto è per B (e infatti -1-1+1-1+1+1=0), mentre
  • (1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1)  \in S

Si verifica facilmente che  N^+ \cup N^- \cup S = T .

A questo punto prendiamo una qualsiasi n-upla in N^+. Supponiamo rappresenti uno scrutinio in cui la prima situazione di pareggio (può non essere l'unica) si realizzi dopo h voti scrutinati. Se sostituiamo, nei primi h campi della n-upla, ogni 1 con un -1 e viceversa otteniamo una nuova ennupla che farà parte di N^- (infatti questa sostituzione non altera il numero totale degli 1 e dei -1). Se invece applichiamo lo stesso procedimento ad un elemento di N^-, otteniamo un elemento di N^+. Si verifica facilmente che quella ora descritta è una corrispondenza biunivoca tra questi due sottoinsiemi, che quindi necessariamente hanno la stessa cardinalità. Ovvero la probabilità che, scelto uno scrutinio possibile a caso, questo faccia parte di N^+, è uguale alla probabilità che faccia parte di N^- (formalmente, questo si giustifica utilizzando la probabilità uniforme sull'insieme delle n-uple a termini +1 e -1).


Ora non è difficile calcolare la probabilità che uno scrutinio scelto a caso faccia parte di N^-, perché è semplicemente la probabilità che il primo voto scrutinato sia per B, ovvero \frac{b}{n}=\frac{b}{a+b}, che è anche la probabilità che lo scrutinio faccia parte di N^+. La probabilità che non faccia parte di nessuno dei due, e che quindi faccia parte di S, è: 1-\frac{2b}{a+b}=\frac{a+b-2b}{a+b}=\frac{a-b}{a+b}.

Un altro modo classico per dimostrare questo risultato sfrutta il principio di induzione.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Del problema del ballottaggio sono state studiate svariate generalizzazioni, in due direzioni:

  • i candidati non sono 2 ma un qualsiasi numero (A_1, A_2, \cdots A_m con rispettivamente a_1, a_2, \cdots a_m voti a testa)
  • la differenza di consensi tra i due candidati non è espressa come differenza di voti o come percentuale ma come rapporto del numero di voti ottenuti (il candidato A ha \mu volte più voti di B)

Il teorema del ballottaggio viene spesso associato al nome di Joseph Louis François Bertrand, matematico francese del XIX secolo.

La rovina del giocatore[modifica | modifica wikitesto]

In uno spoglio già iniziato, in cui A goda un margine di un vantaggio esiguo (rispetto al numero di voti ancora da scrutinare), la possibilità per B di tornare momentaneamente in parità dipende da una dinamica simile a quella della rovina del giocatore, dove la probabilità, ad ogni estrazione, di una "vincita" per B è approssimabile con il rapporto tra il numero di voti ancora da scrutinare di B e quelli di A: tuttavia, questa probabilità decresce con il procedere dello scrutinio, e la possibilità che il candidato B torni in parità diventa nulla quando restano da scrutinare solo a-b voti.


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