Teorema S m n

In Teoria della ricorsione, il teorema $S_{n}^{m}$ è un risultato di base sugli algoritmi, astrattamente chiamati numerazione di Gödel, fornito originariamente da Stephen Cole Kleene.

Informalmente, il teorema dice che, dato un programma che prenda in entrata m+n variabili, esiste un algoritmo ricorsivo che fornisce in uscita un programma di n variabili che fornisce gli stessi risultati del primo e che codifica le altre m variabili.

Descrizione

Sia una funzione di m+n variabili il cui numero di Gödel sia z

$\varphi_z(x_1 ,..., x_n, y_1,..., y_m)$

Si dividono le variabili della funzione in due blocchi dove il primo rimane variabile e il secondo costante. Esiste una funzione ricorsiva primitiva teorema $S_{n}^{m}$ di m+1 variabili (detto altrimenti: "Esiste una procedura generale che prende in ingresso z e $y_1,..., y_m$") e fornisce il numero di Gödel $g_n$ di una procedura delle restanti variabili che dia lo stesso risultato.

$\varphi_z(x_1 ,..., x_n, y_1,..., y_m) \simeq \varphi_{S^m_n(z,y_1,..., y_m)}(x_1 ,..., x_n)$

dove $\varphi$ è una funzione parziale.

Conseguenza

Se un sistema di funzioni soddisfa il Teorema Smn allora tale sistema è Turing completo.

Esempio

Il seguente codice Lisp implementa teorema $S_{1}^{1}$.

(defun s11 (f x)
   (list 'lambda '(y) (list f x 'y))

Ad esempio, (s11 '(lambda (x y) (+ x y)) 3) valuta a (lambda (y) ((lambda (x y) (+ x y)) 3 y)).

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