Regole di derivazione

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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano f(x) e g(x) funzioni reali di variabile reale x derivabili, e sia \mathrm{D} l'operazione di derivazione rispetto a x:

\mathrm{D}[f(x)]=f'(x) \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x)
\mathrm{D}[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x) \qquad \alpha, \beta \in \R
\mathrm{D} [ {f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\mathrm{D}\! \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x)  \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over g(x)^2}
\mathrm{D}\! \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over f(x)^2}
\mathrm{D}[f^{-1}(y)]  =  {1 \over f'(x)}
con:
 y = {f(x)} \qquad x = {f^{-1}(y)}
\mathrm{D} \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)
\mathrm{D} \left[ f(x)^{g(x)} \right] =  f(x)^{g(x)}\left[  g'(x)\ln( f(x) ) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)}   \right]

Derivate fondamentali[modifica | modifica wikitesto]

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali
  • \mathrm{D}(a) = 0 \, , \, a \mbox{ costante}
  • \mathrm{D}(x) = 1
  • \mathrm{D}(ax) = a \, , \, a \mbox{ costante}
  • \mathrm{D}(x^2) = 2x
  • \mathrm{D}(x^3) = 3x^2
Dimostrazione
  • \mathrm{D}(a) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{a -a  }\over{h}}= 0
  • \mathrm{D}(x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h) - x }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{h}\over{h}} = 1
  • \mathrm{D}(x^2) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^2 - x^2 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^2 + 2hx + h^2 - x^2}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (2x + h) = 2x
  • \mathrm{D}(x^3) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0}{{(x+h)^3 - x^3 }\over{h}}= \lim_{h\to 0}{{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}\over{h}} = \lim_{h\to 0} (3x^2 + 3xh + h^2 ) = 3x^2

Più in generale si ha:

  • \mathrm{D}(x^n) = nx^{n-1} \quad \mathrm{con}\ n \in \mathbb{N}
Dimostrazione
\mathrm{D}(x^n) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}{{(x+h)^n - x^n}\over{h}}
Applicando il teorema binomiale:
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^{k}
e le proprietà dei coefficienti binomiali si ottiene:
\mathrm{D}(x^n) = \lim_{ h \to 0} \frac{x^n + n x^{n-1} h  + {n \choose 2}  x^{n-2}  h^2 + {n \choose 3} x^{n-3} h^3 +  \ldots + {n \choose n-2}  x^2  h^{n-2} + nxh^{n-1}+ h^n - x^n}{h}=
= \lim_{ h \to 0} \frac{n x^{n-1} h  + {n \choose 2}  x^{n-2}  h^2 + {n \choose 3} x^{n-3} h^3 +  \ldots + {n \choose n-2}  x^2  h^{n-2} + nxh^{n-1}+ h^n }{h}=
= \lim_{ h \to 0} \left( n x^{n-1}   + {n \choose 2}  x^{n-2}  h + {n \choose 3} x^{n-3} h^2 +  \ldots + {n \choose n-2}  x^2  h^{n-3} + nxh^{n-2}+ h^{n-1} \right) = nx^{n-1}
Altre funzioni algebriche
  • \mathrm{D}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \quad \mathrm{con}\  \alpha \in \R
  • \mathrm{D}(\sqrt[2]{x}) = { \frac {1} {2 \sqrt[2]{x}}}
  • \mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = { \frac {m} {n} \sqrt[n]{x^{m-n}} }\quad \mbox{se }x > 0
  • \mathrm{D}(|x|) = segno (x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }x>0 \\-1 & \mbox{se }x<0\\\mbox{non definito} & \mbox{se } x=0 \end{matrix}\right.
Dimostrazione
\mathrm{D}(x^\alpha) =  \mathrm{D} \left( \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \right)
applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
\mathrm{D} \left( \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \right) = \mathrm{e}^{\alpha \ln x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha-1}
  • \mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = \mathrm{D} \left( x^{\frac{m}{n}} \right)
Applicando la regola sopra dimostrata \ \mathrm{D}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \ si ottiene:
\mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = \frac{m}{n} x^{\frac{m}{n} -1 } = \frac{m}{n} x^{\frac{m-n}{n} } = \frac {m} {n} \sqrt[n]{x^{m-n}}
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
  • \mathrm{D}( \log_b x ) = \frac{\log_b \mathrm{e}}{x} = \frac{1}{x \ln\! b}
  • \mathrm{D}( \ln x ) = \frac 1 x
Dimostrazione
  • \mathrm{D}(\log_b x ) = \lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}{{\log_b (x+h) - \log_b(x)}\over{h}} = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h} \cdot \log_b {\frac{x+h}{x}}
Applicando ancora le proprietà dei logaritmi si ottiene:
\mathrm{D}(\log_b x ) = \lim_{h\to 0} \log_b { \left( {\frac{x+h}{x}} \right) }^{\frac{1}{h} } = \lim_{h\to 0} \log_b { \left( 1 + \frac{h}{x} \right) }^{\frac{1}{h} }
Applicando il limite notevole \lim_{z\to 0} {\left ( 1 + \theta z \right ) }^{\frac{1}{z}} = \mathrm{e}^\theta dove  \theta = \frac{1}{x} si ottiene:
\mathrm{D}(\log_b x ) = \log_b \mathrm{e}^{\frac{1}{x}} = \frac{\log_b \mathrm{e} }{x} = \frac{1}{x \ln b}
  • Dalla regola D( \log_b x ) = \frac{\log_b \mathrm{e}}{x} scaturisce:
\mathrm{D}( \ln x ) =\frac{\log_\mathrm{e} \mathrm{e}}{x} = \frac{1}{x}
  • \mathrm{D}( e^x ) = \mathrm{e}^x
  • \mathrm{D}( a^x ) = a^x \ln a
  • \mathrm{D}( x^x ) = x^x (1 + \ln x)
Dimostrazione n. 1
  • \mathrm{D}(\mathrm{e}^x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^{x+h}-\mathrm{e}^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\mathrm{e}^x\mathrm{e}^h-\mathrm{e}^x}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\mathrm{e}^x(\mathrm{e}^h-1)}{h}=\mathrm{e}^x\lim_{h\to 0} \frac{\mathrm{e}^h-1}{h}=\mathrm{e}^x
dal limite notevole  \lim_{z\to 0} \frac{k^z-1}{z}=\ln k \,
  • \mathrm{D}(a^x) =\lim_{h\to 0}{{f(x+h) - f(x)}\over{h}} =\lim_{h\to 0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{a^xa^h-a^x}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{a^x(a^h-1)}{h}=a^x\lim_{h\to 0} \frac{a^h-1}{h}=a^x \ln a
dal limite notevole  \lim_{z\to 0} \frac{k^z-1}{z}=\ln k \,
Un altro sistema è il seguente. Applicando le proprietà dei logaritmi:
\mathrm{D}(a^x) = \mathrm{D} \left( \mathrm{e}^{x \ln a} \right)
e applicando la regola di derivazione di una funzione composta:
\mathrm{D} \left( \mathrm{e}^{x \ln a} \right) = \mathrm{e}^{x \ln a} \cdot \ln a = a^x \ln a
  • \mathrm{D}(\ln(f(x)))={{f'(x)}\over{f(x)}} \Rightarrow f(x)\mathrm{D}(\ln(f(x)))=f'(x)
e quindi
\mathrm{D}(x^x)=x^x\mathrm{D}(\ln(x^x))=x^x\left(\ln(x)+x\left({{1}\over{x}}\right)\right)=x^x\left(1+\ln(x)\right)
Dimostrazione n. 2
\mathrm{D}(a^x) = \frac{1}{\mathrm{D}(\log_a y)} = \frac{1}{\frac{1}{y} \log_a \mathrm{e}} = y \ln a = a^x \ln a
  • Applicando la regola di derivazione \mathrm{D}(a^x)=a^x \ln a scaturisce:
\mathrm{D}(\mathrm{e}^x) = \mathrm{e}^x \ln \mathrm{e} = \mathrm{e}^x
Funzioni trigonometriche
  • \mathrm{D}( \sin x ) = \cos x
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
 \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0 + h)-\sin(x_0)}{h}}
Usando le proprietà trigonometriche di addizione:
 \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0 + h)-\sin(x_0)}{h}} = \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(x_0) \cos(h)+ \cos(x_0) \sin(h)-\sin(x_0)}{h}} =
\lim_{h \to 0} {\frac{-\sin(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) +\cos(x_0) \sin(h)}{h}}
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garantisce che:
 \sin \left( \frac{x}{2}\right)= \pm \ \sqrt{ \frac{1- \cos(x)}{2}}
Da quest'ultima espressione ricaviamo:
  1- \cos(x) = 2 \sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)
che sostituendo nello sviluppo del limite:
              
\lim_{h \to 0} {\frac{- \sin(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) +\cos(x_0) \sin(h)}{h}}=
\lim_{h \to 0} {\frac{- \sin(x_0) \cdot \left (  2 \sin^2 \left(\frac{h}{2}\right)\right ) }{h}}
+ \lim_{h \to 0} {\frac{ \cos(x_0) \sin(h)}{h}} =
 
- \sin(x_0) \cdot  \lim_{h \to 0} {\frac {\sin^2 (\frac{h}{2})} {\frac{h}{2}}} +
\cos(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(h)}{h}}=
 
- \sin(x_0) \cdot  \lim_{h \to 0} {\sin \left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)} {\frac{h}{2}} +
\cos(x_0) \cdot 1 =
 
- \sin(x_0) \cdot 0 \cdot 1 + \cos(x_0)=\cos(x_0)
  • \mathrm{D}( \cos x ) =  - \sin x
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive il limite del rapporto incrementale, per l'incremento che tende a 0, della funzione:
 \lim_{h \to 0} {\frac{\cos(x_0 + h)-\cos(x_0)}{h}}
Adesso sfruttiamo le proprietà trigonometriche di addizione:
 \lim_{h \to 0} {\frac{\cos(x_0 + h)-\cos(x_0)}{h}} = \lim_{h \to 0} {\frac{\cos(x_0) \cos(h)- \sin(x_0) \sin(h)-\cos(x_0)}{h}} = \lim_{h \to 0} {\frac{-\cos(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) -\sin(x_0) \sin(h)}{h}}
A questo punto ricordiamo che la formula di bisezione del seno ci garatisce che:
\sin\left(\frac{x}{2}\right)= \pm\sqrt{\frac{1-\cos(x)}{2}}
da quest'ultima espressione ricaviamo:
1-\cos(x) = 2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right)
che sostituendo nello sviluppo del limite:
              
\lim_{h \to 0} {\frac{- \cos(x_0) \cdot \left (1-\cos(h) \right ) -\sin(x_0) \sin(h)}{h}}=
\lim_{h \to 0} {\frac{- \cos(x_0) \cdot \left (  2 \sin^2 (\frac{h}{2})\right ) }{h}}
- \lim_{h \to 0} {\frac{ \sin(x_0) \sin(h)}{h}} =
 
-\cos(x_0)  \cdot  \lim_{h \to 0} {\frac {\sin^2 \left(\frac{h}{2}\right)} {\frac{h}{2}}} -
\sin(x_0) \cdot \lim_{h \to 0} {\frac{\sin(h)}{h}}=
 
- \cos(x_0) \cdot  \lim_{h \to 0} {\sin \left(\frac{h}{2}\right)} \cdot \frac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)} {\frac{h}{2}} -
\sin(x_0) \cdot 1 =
 
- \cos(x_0) \cdot 0 \cdot 1 - \sin(x_0)=-\sin(x_0)
  • \mathrm{D}( \tan x ) = 1 + \tan^2 x = {1 \over \cos^2 x}
Dimostrazione
Per prima cosa si scrive la funzione tangente come rapporto tra il seno ed il coseno:
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}
Ora è possibile utilizzare la derivata del rapporto di due funzioni:
\mathrm{D}\!\!\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)=\frac{\cos(x)\cos(x)+\sin(x)\sin(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}
A questo punto si può sviluppare il rapporto in due modi:
\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}
\frac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)
  • \mathrm{D}( \cot x ) = -(1+\cot^2 x) = -\frac 1{\sin^2 x}
  • \mathrm{D}( \sec x )= \tan x \sec x
  • \mathrm{D}( \csc x )= -\cot x \csc x
  • \mathrm{D}( \arcsin x ) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}
Dimostrazione
Le notazioni \arcsin e \sin ^{-1} indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione \ y = \sin^{-1}(x) e moltiplichiamo da ambo le parti  \cdot \sin in modo da ottenere \sin(y) = x . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
\cos(y)\cdot y' = 1
di conseguenza si ha che:
\ y' = \frac 1 {\cos(y)} .
Ricordando che:
\cos(y) = \sqrt{1-sin^2(y)} \qquad \sqrt{1-sin^2(y)} = \sqrt{1-x^2}
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
\ y' = \frac 1 {cos(y)} = \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} .
  • \mathrm{D}( \arccos x ) = -\frac 1{ \sqrt {1 - x^2}}
Dimostrazione
Le notazioni \arccos e \cos ^{-1} indicano la stessa funzione. Scrivendo la funzione  y = \cos^{-1}(x) e moltiplichiamo da ambo le parti  \cdot \cos in modo da ottenere \cos(y) = x . Differenziando l'espressione trovata si ottiene:
\ -sin(y)\cdot y' = 1
di conseguenza si ha che:
\ y' = - \frac 1 {sin(y)} .
Ricordando che:
\sin(y) = \sqrt{1-cos^2(y)} \qquad \sqrt{1-cos^2(y)} = \sqrt{1-x^2}
sostituendo nella derivata e si ottiene la formula che si stava cercando:
\ y' = -\frac 1 {sin(y)} = -\frac 1 {\sqrt{1-x^2}} .
  • \mathrm{D}( \arctan x ) = \frac 1 { 1 + x^2}
  • \mathrm{D}( \arccot x )= {-1 \over 1 + x^2}
  • \mathrm{D}( \arcsec x )= { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
  • \mathrm{D}( \arccsc x )= {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
Funzioni iperboliche
  • \mathrm{D}( \sinh x ) = \cosh x
  • \mathrm{D}( \cosh x ) = \sinh x
  • \mathrm{D}( \tanh x ) = \frac 1 {\cosh^2 x}
  • \mathrm{D}( \mbox{coth}\,x )= -\mbox{csch}^2\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{sech}\, x )= -\tanh x \;\mbox{sech}\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{csch}\, x )= -\mbox{coth}\, x\; \mbox{csch}\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{settsinh}\, x )= { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
  • \mathrm{D}( \mbox{settanh}\, x )= { 1 \over 1 - x^2}
  • \mathrm{D}( \mbox{settcoth}\, x )= { 1 \over 1 - x^2}
  • \mathrm{D}( \mbox{settsech}\, x )= {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
  • \mathrm{D}( \mbox{settcsch}\, x )= {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}

Derivate di funzioni composte[modifica | modifica wikitesto]

  • \mathrm{D}( |f(x)| ) = segno (f(x))\cdot f'(x) \ = f'(x) \cdot \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }f(x)>0 \\-1 & \mbox{se }f(x)<0\\\mbox{non derivabile} & \mbox{se } f(x)=0 \end{matrix}\right.
  • \mathrm{D}( [f(x)]^n ) = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}( \ln f(x) ) = {f'(x) \over f(x)}
  • \mathrm{D}( \ln |f(x)| ) = segno (f(x)) \cdot {f'(x) \over |f(x)|} = {f'(x) \over f(x)}
  • \mathrm{D}(\mathrm{e}^{f(x)}) = \mathrm{e}^{f(x)} \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}(a^{f(x)}) = a^{f(x)} \cdot f'(x) \cdot \ln a
  • \mathrm{D}(\sin f(x)) =  \cos f(x) \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}(\cos f(x)) = -\sin f(x) \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}( \tan f(x) )  = {f'(x) \over \cos^2 f(x)}
  • D(\arcsin f(x)) = {f'(x) \over \sqrt{1 - [f(x)]^2 }}
  • D(\arccos f(x)) = {-f'(x) \over \sqrt{1 - [f(x)]^2 }}
  • D(\arctan f(x)) = {f'(x) \over 1 + [f(x)]^2 }
  • D(f(x)^{g(x)}) = f(x)^{g(x)} \cdot \left\{ g'(x) \cdot \ln f(x) + g(x) \cdot {f'(x) \over f(x)} \right\}\,
Dimostrazione
{f( x )^{g( x )} } = {e^{ {  \ln}{f( x )^{g( x )} }} } = {e^{g( x ) \cdot {{  \ln}f( x )}} } e dunque si deriva seguendo la regola di D( {e^{f( x )} } ) e del prodotto
  • D(x^{f(x)}) = x^{f(x)} \cdot \left\{ f'(x) \cdot \ln x+{f(x) \over x} \right\}\,

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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