Regole di derivazione

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In matematica, le regole di derivazione e le derivate fondamentali sono regole studiate per evitare di dover calcolare ogni volta il limite del rapporto incrementale di funzioni, e utilizzate al fine di facilitare la derivazione di funzioni di maggiore complessità.

Regole di derivazione[modifica | modifica sorgente]

Siano f(x) e g(x) funzioni reali di variabile reale x derivabili, e sia \mathrm{D} l'operazione di derivazione rispetto a x:

\mathrm{D}[f(x)]=f'(x) \qquad \mathrm{D}[g(x)]=g'(x)
\mathrm{D}[\alpha f(x)+ \beta g(x)] = \alpha f'(x) + \beta g'(x) \qquad \alpha, \beta \in \R
\mathrm{D} [ {f(x) \cdot g(x)}] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
\mathrm{D}\! \left[ {f(x) \over g(x)} \right] = { f'(x)  \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x) \over g(x)^2}
\mathrm{D}\! \left[ {1 \over f(x)} \right] = -{f'(x) \over f(x)^2}
\mathrm{D}[f^{-1}(y)]  =  {1 \over f'(x)}
con:
 y = {f(x)} \qquad x = {f^{-1}(y)}
\mathrm{D} \left[ f \left( g(x) \right) \right] = f' \left( g(x) \right) \cdot g'(x)
\mathrm{D} \left[ f(x)^{g(x)} \right] =  f(x)^{g(x)}\left[  g'(x)\ln( f(x) ) + \frac{g(x)f'(x)}{f(x)}   \right]

Derivate fondamentali[modifica | modifica sorgente]

Ognuna di queste funzioni, se non altrimenti specificato, è derivabile in tutto il suo campo di esistenza.

Funzioni polinomiali
  • \mathrm{D}(a) = 0 \, , \, a \mbox{ costante}
  • \mathrm{D}(x) = 1
  • \mathrm{D}(ax) = a \, , \, a \mbox{ costante}
  • \mathrm{D}(x^2) = 2x
  • \mathrm{D}(x^3) = 3x^2

Più in generale si ha:

  • \mathrm{D}(x^n) = nx^{n-1} \quad \mathrm{con}\ n \in \mathbb{N}
Altre funzioni algebriche
  • \mathrm{D}(x^\alpha) = \alpha x^{\alpha-1} \quad \mathrm{con}\  \alpha \in \R
  • \mathrm{D}(\sqrt[2]{x}) = { \frac {1} {2 \sqrt[2]{x}}}
  • \mathrm{D}(\sqrt[n]{x^m}) = { \frac {m} {n} \sqrt[n]{x^{m-n}} }\quad \mbox{se }x > 0
  • \mathrm{D}(|x|) = segno (x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }x>0 \\-1 & \mbox{se }x<0\\\mbox{non definito} & \mbox{se } x=0 \end{matrix}\right.
Funzioni logaritmiche ed esponenziali
  • \mathrm{D}( \log_b x ) = \frac{\log_b \mathrm{e}}{x} = \frac{1}{x \ln\! b}
  • \mathrm{D}( \ln x ) = \frac 1 x
  • \mathrm{D}( e^x ) = \mathrm{e}^x
  • \mathrm{D}( a^x ) = a^x \ln a
  • \mathrm{D}( x^x ) = x^x (1 + \ln x)
Funzioni trigonometriche
  • \mathrm{D}( \sin x ) = \cos x
  • \mathrm{D}( \cos x ) =  - \sin x
  • \mathrm{D}( \tan x ) = 1 + \tan^2 x = {1 \over \cos^2 x}
  • \mathrm{D}( \cot x ) = -(1+\cot^2 x) = -\frac 1{\sin^2 x}
  • \mathrm{D}( \sec x )= \tan x \sec x
  • \mathrm{D}( \csc x )= -\cot x \csc x
  • \mathrm{D}( \arcsin x ) = \frac 1{\sqrt {1 - x^2}}
  • \mathrm{D}( \arccos x ) = -\frac 1{ \sqrt {1 - x^2}}
  • \mathrm{D}( \arctan x ) = \frac 1 { 1 + x^2}
  • \mathrm{D}( \arccot x )= {-1 \over 1 + x^2}
  • \mathrm{D}( \arcsec x )= { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
  • \mathrm{D}( \arccsc x )= {-1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}}
Funzioni iperboliche
  • \mathrm{D}( \sinh x ) = \cosh x
  • \mathrm{D}( \cosh x ) = \sinh x
  • \mathrm{D}( \tanh x ) = \frac 1 {\cosh^2 x}
  • \mathrm{D}( \mbox{coth}\,x )= -\mbox{csch}^2\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{sech}\, x )= -\tanh x \;\mbox{sech}\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{csch}\, x )= -\mbox{coth}\, x\; \mbox{csch}\, x
  • \mathrm{D}( \mbox{settsinh}\, x )= { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}
  • \mathrm{D}( \mbox{settanh}\, x )= { 1 \over 1 - x^2}
  • \mathrm{D}( \mbox{settcoth}\, x )= { 1 \over 1 - x^2}
  • \mathrm{D}( \mbox{settsech}\, x )= {-1 \over x\sqrt{1 - x^2}}
  • \mathrm{D}( \mbox{settcsch}\, x )= {-1 \over |x|\sqrt{1 + x^2}}

Derivate di funzioni composte[modifica | modifica sorgente]

  • \mathrm{D}( |f(x)| ) = segno (f(x))\cdot f'(x) \ = f'(x) \cdot \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se }f(x)>0 \\-1 & \mbox{se }f(x)<0\\\mbox{non derivabile} & \mbox{se } f(x)=0 \end{matrix}\right.
  • \mathrm{D}( [f(x)]^n ) = n \cdot f(x)^{n-1} \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}( \ln f(x) ) = {f'(x) \over f(x)}
  • \mathrm{D}( \ln |f(x)| ) = segno (f(x)) \cdot {f'(x) \over |f(x)|} = {f'(x) \over f(x)}
  • \mathrm{D}(\mathrm{e}^{f(x)}) = \mathrm{e}^{f(x)} \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}(a^{f(x)}) = a^{f(x)} \cdot f'(x) \cdot \ln a
  • \mathrm{D}(\sin f(x)) =  \cos f(x) \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}(\cos f(x)) = -\sin f(x) \cdot f'(x)
  • \mathrm{D}( \tan f(x) )  = {f'(x) \over \cos^2 f(x)}
  • D(\arcsin f(x)) = {f'(x) \over \sqrt{1 - [f(x)]^2 }}
  • D(\arccos f(x)) = {-f'(x) \over \sqrt{1 - [f(x)]^2 }}
  • D(\arctan f(x)) = {f'(x) \over 1 + [f(x)]^2 }
  • D(f(x)^{g(x)}) = f(x)^{g(x)} \cdot \left\{ g'(x) \cdot \ln f(x) + g(x) \cdot {f'(x) \over f(x)} \right\}\,
  • D(x^{f(x)}) = x^{f(x)} \cdot \left\{ f'(x) \cdot \ln x+{f(x) \over x} \right\}\,

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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