Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali

Questa pagina contiene una tavola di integrali indefiniti di funzioni esponenziali. Per altri integrali vedi Indici per la matematica#Tavole di integrali.

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \log a} a^{cx} \qquad\mbox{(per } a > 0,\mbox{ }a \ne 1\mbox{)}$

$\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx$

Dimostrazione

Applico l'integrazione per parti: $\int f'g\; dx = fg-\int fg'\; dx$
con

• $f'=e^{cx} \,\!$
• $g =x^n$
  

E di conseguenza

• $f= \frac{1}{c}e^{cx}$
• $g'= n x^{n-1}$
  

Avremo allora

$\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} e^{cx} x^n - \int \frac{1}{c} e^{cx} n x^{n-1}dx \; = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx$
c.v.d.

che ha come casi particolari

• $\int xe^{cx}\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$
• $\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \log|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} dx}{x^{n-1}}\right) \qquad\mbox{(per }n\neq 1\mbox{)}$

$\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}\left(e^{cx}\log|x|-\int\frac{e^{cx} dx}{x}\right)$

$\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx$

$\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx$

$\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; = \frac{1}{2 \sigma} \left(1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt(2)}\right)$ (è da ricontrollare: infatti è una gaussiana normalizzata dal fattore $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ quindi dovrebbe fare $1 +...$)

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