Tasso di crescita

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L'andamento di una determinata variabile X\; nel tempo può essere espresso mediante un numero indice, dato dal rapporto tra il valore al tempo t\; e quello al tempo t-1\;, \frac{X_t}{X_{t-1}}, oppure mediante il tasso di crescita, dato dal rapporto tra l'incremento di X\; dal tempo t-1\; al tempo t\; ed il suo valore al tempo t-1\;:

g_t = \frac{\Delta X_t}{X_{t-1}}=\frac{X_t-X_{t-1}}{X_{t-1}} = \frac{X_t}{X_{t-1}} - 1

Ad esempio, il PIL reale italiano (anno di riferimento il 2000) è passato da 1.232.773 milioni di euro nel 2005 a 1.255.848 milioni di euro nel 2006,[1] con un tasso di crescita pari a 0,0187 (1,87%):

\frac{1255848-1232773}{1232773}=\frac{23075}{1232773}=0.0187

Il numero indice è invece (a meno dell'abituale moltiplicazione per 100):

\frac{1255848}{1232773}=1.0187

Tasso di crescita di un prodotto di variabili[modifica | modifica sorgente]

Se la variabile che è interessa è il prodotto di due altre variabili, il suo tasso di crescita è approssimativamente uguale alla somma dei tassi di crescita dei due fattori.

Ad esempio, il valore V\; di un bene è dato dal prodotto del prezzo unitario P\; per la quantità Q\; e si ha:

\frac{\Delta V_t}{V_{t-1}}\approx \frac{\Delta P_t}{P_{t-1}}+\frac{\Delta Q_t}{Q_{t-1}}

Infatti:

\begin{align}V_t&=P_tQ_t=(P_{t-1}+\Delta P_t)(Q_{t-1}+\Delta Q_t)=\\&=P_{t-1}Q_{t-1}+P_{t-1}\Delta Q_t+\Delta P_tQ_{t-1}+\Delta P_t\Delta Q_t=\\&=V_{t-1}+P_{t-1}\Delta Q_t+\Delta P_tQ_{t-1}+\Delta P_t\Delta Q_t\end{align}

da cui:

\begin{align}\frac{V_t-V_{t-1}}{V_{t-1}}&=\frac{P_{t-1}\Delta Q_t}{P_{t-1}Q_{t-1}}+\frac{\Delta P_t Q_{t-1}}{P_{t-1}Q_{t-1}}+\frac{\Delta P_t}{P_{t-1}}\cdot\frac{\Delta Q_t}{Q_{t-1}}\\&\approx \frac{\Delta Q_t}{Q_{t-1}}+\frac{\Delta P_t}{P_{t-1}}\end{align}

in quanto, tipicamente, il prodotto di due tassi di crescita significativamente minori di 1 è molto piccolo.

Tasso di crescita di una somma di due variabili[modifica | modifica sorgente]

Se la variabile che interessa è la somma di due altre variabili, il suo tasso di crescita è uguale alla somma dei tassi di crescita dei due addendi, ponderati con le rispettive quote al periodo iniziale.

Ad esempio, il totale delle forze di lavoro F in Italia è aumentato, dal I trimestre 2011 al I trimestre 2012, da 24.402 a 24.931 migliaia di unità, con un tasso di incremento pari a 0,022 (2,2%). L'aumento è stato determinato dal simultaneo aumento degli occupati O (da 22.846 a 23.170 migliaia di unità) e delle persone in cerca di occupazione D (da 1.556 a 1.761 migliaia di unità).[2] Si ha:

\begin{align}\frac{\Delta F_t}{F_{t-1}}&=\frac{\Delta(O_t+D_t)}{O_{t-1}+D_{t-1}}=
\frac{\Delta O_t}{O_{t-1}+D_{t-1}}+\frac{\Delta D_t}{O_{t-1}+D_{t-1}}=\\
&=\frac{\Delta O_t}{O_{t-1}}\cdot\frac{O_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}+
\frac{\Delta D_t}{D_{t-1}}\cdot\frac{D_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}=\\
&=\alpha\frac{\Delta O_t}{O_{t-1}}+(1-\alpha)\frac{\Delta D_t}{D_{t-1}}
\end{align}

dove i due addendi sono detti contributi alla crescita di F da parte, rispettivamente, di O e di D.

Nell'esempio considerato si ha:

  • \alpha=\frac{O_{t-1}}{O_{t-1}+D_{t-1}}=\frac{22846}{22846+1556}=0.9632
  • \frac{\Delta O_t}{O_{t-1}}=\frac{23170-22846}{22846}=0.0142
  • 1-\alpha=1-0.9632=0.0638
  • \frac{\Delta D_t}{D_{t-1}}=\frac{1761-1556}{1556}=0.1317
  • \frac{\Delta F_t}{F_{t-1}}=0.9632\cdot 0.0142+0.0638\cdot 0.1317=0.022

Tasso di crescita medio[modifica | modifica sorgente]

Se si conoscono i tassi di crescita di una variabile X in più periodi, si può calcolare il tasso di crescita medio dal periodo iniziale al periodo finale.

A tale scopo, si considera che il numero indice dal tempo 0 al tempo t è il prodotto dei numeri indice a base mobile di ciascun periodo:

I_{0,t}=\frac{X_1}{X_0}\cdot\frac{X_2}{X_1}\cdot\frac{X_3}{X_2}\dots\frac{X_t}{X_{t-1}}

Il numero indice a base mobile medio è la media geometrica di quelli noti. Per ottenere il tasso di crescita medio basta sottrarre 1.

Ad esempio, il PIL reale italiano ha fatto registrare il seguente andamento:


2002 2003 2004 2005 2006
PIL 1.216.588 1.217.040 1.231.689 1.232.773 1.255.848
Numeri indice a base mobile   1,0004 1,0120 1,0009 1,0187


Il numero indice a base mobile medio è: \sqrt[4]{1.0004\cdot 1.0120\cdot 1.0009\cdot 1.0187}=1.0080, per un tasso di crescita medio annuo pari a 0.0080 (0.8%).

Infatti, partendo dal valore del 2002 si ottiene: 1216588(1+0.0080)^4=1255848.

Se invece si conoscessero solo il valore iniziale e quello finale:

1+i=\sqrt[2006-2002]{\frac{1255848}{1216588}}=\sqrt[4]{1.03227}=1.0080

da cui i = 0.0080.

Tasso di crescita istantaneo[modifica | modifica sorgente]

Fin qui è stato descritto il tasso di crescita nel discreto, utile quando si dispone di serie storiche \{X_1, X_2, \ldots, X_{t-1}, X_{t}, X_{t+1}, \ldots, X_T\}. Se invece si desidera modellizzare la crescita nel continuo di una variabile teorica, può essere utile far riferimento al tasso di crescita istantaneo, rappresentato dal limite del rapporto incrementale quando l'intervallo temporale tende a zero:

g = \frac{\dot{X}}{X}

dove

\dot{X} = {\mathop {\lim_{h \to 0}} {{X\left( {t + h} \right) - X\left( t \right)} \over h}}

Tale formalizzazione consente l'utilizzo degli strumenti del calcolo per descrivere l'evoluzione della variabile nel tempo continuo.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ ISTAT, Annuario statistico italiano 2007, Roma, 2007, Cap. 12, Prospetto 12.1, pag. 306.
  2. ^ ISTAT, Rilevazione sulle forze di lavoro I trimestre 2008.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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