Tabella di Cayley

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Una tabella di Cayley, detta anche tavola di composizione, è una tabella a doppia entrata che descrive la struttura di un gruppo finito. Deve il nome al matematico britannico Arthur Cayley.

La tabella mostra i risultati di tutti i possibili prodotti tra gli elementi del gruppo, in modo simile ad una tavola pitagorica. Permette di trovare velocemente l'inverso di un dato elemento e di dedurre proprietà del gruppo quali l'abelianità o il centro.

Dato un gruppo G = \left\{g_1, g_2, g_3,...\right\} con operazione binaria \star, la tabella di Cayley mostra, per ogni coppia di elementi g_i, g_j \in G, il risultato dell'operazione g_i\star g_j. L'intersezione della riga i e della colonna j contiene quindi il risultato del prodotto g_i\star g_j.

Un semplice esempio è la tabella di Cayley per il gruppo \{1, -1\} con moltiplicazione ordinaria.

× 1 −1
1 1 −1
−1 −1 1

Struttura[modifica | modifica wikitesto]

Siccome una tabella di Cayley può essere usata per descrivere gruppi che non sono abeliani, il prodotto a\star b potrebbe essere diverso da b\star a per una qualche scelta di a e b appartenenti a G. Per evitare ambiguità, è in uso la convenzione che l'elemento corrispondente alla riga è a sinistra dell'operazione di moltiplicazione, e quello che corrisponde alla colonna è a destra: quindi l'intersezione della riga di a e della colonna di b contiene a\star b e non b\star a, come nel seguente esempio:

\star a b c
a a2 ab ac
b ba b2 bc
c ca cb c2

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Siccome la moltiplicazione in un gruppo abeliano è commutativa, una tabella di Cayley è simmetrica rispetto alla diagonale se e solo se il gruppo che rappresenta è abeliano. Il gruppo \left\{1, -1\right\} con moltiplicazione ordinaria, mostrato sopra, è un esempio di gruppo con tabella simmetrica.


A causa della proprietà di cancellazione degli elementi di un gruppo, una qualsiasi colonna o riga non può contenere un dato elemento più di una volta. Ne consegue che le righe e le colonne sono permutazioni degli elementi del gruppo.

La tabella di Cayley di un gruppo è quindi un esempio di quadrato latino.

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