Successione di Sylvester

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La successione di Sylvester è formata dai denominatori coprimi di una frazione egiziana (essa è la somma di frazioni che hanno al numeratore l'unità e al denomintore numeri interi positivi distinti fra loro, per esempio 1/2+1/3. Si dimostra che ogni numero razionale positivo, a/b, può essere scritto come frazione egiziana).

La somma delle frazioni ottenute mettendo al denominatore i numeri della successione di Sylvester tende ad 1. I suoi primi termini sono

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443[1]

I termini della successione possono essere calcolati nel seguente modo:

a_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} a_i = 1 + (a_{n - 1})^2 - a_{n - 1} .

Mettendo 1 come numeratore a questi numeri e sommando via via i risultati delle frazioni così ottenute, si ottiene una somma che converge a 1, come mostra la tabella seguente:

2 1/2 ... 1/2 0.5
3 ... + 1/3 ... 5/6 0.833...
7 ... + 1/7 ... 41/42 0.976190476190476...
43 ... + 1/43 ... 1805/1806 0.99944629014396456257...
1807 ... + 1/1807 ... 3263441/3263442 0.99999969357506583540...
3263443 ... + 1/3263443 ... 10650056950805/10650056950806 0.99999999999990610379...
10650056950807 ... + 1/10650056950807 ... 113423713055421844361000441
113423713055421844361000442
0.99999999999999999999...

Possiamo quindi scrivere

\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^n {1 \over {a_i}} = 1

La successione di Sylvester è utile per ottenere approssimazioni razionali di numeri irrazionali, usando un algoritmo goloso (Algoritmo greedy, un algoritmo di ottimizzazione che procede a costruire in ciascuno dei suoi stadi successivi una soluzione ottimale locale, con la speranza di trovare la soluzione ottimale globale).

Sebbene sia ovvio che i termini della sequenza di Sylvester siano coprimi, non si sa se essi siano tutti liberi da radici (tutti i termini conosciuti lo sono).

Nell'insieme delle soluzioni del problema di Znám per una lunghezza k data, è piacevole il fatto che almeno una delle soluzioni conterrà i primi k - 2 numeri della sequenza di Sylvester.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A000058 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
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