Spettro essenziale

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In matematica, lo spettro essenziale di un operatore limitato è un sottoinsieme dello spettro.

Operatori limitati[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio di Banach e T un operatore limitato definito su X. In letteratura vi sono diverse definizioni di spettro essenziale, che non sono equivalenti tra loro (ma coincidono nel caso di un operatore autoaggiunto):

  • Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess,1}}(T) è l'insieme dei numeri \lambda tali che \lambda I - T non è un operatore semi-Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo o conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess,2}}(T) è l'insieme dei numeri \lambda tali che \lambda I - T non ha immagine chiusa oppure il suo nucleo ha dimensione infinita.
  • Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess,3}}(T) è l'insieme dei numeri \lambda tali che \lambda I - T non è un operatore di Fredholm, ovvero un operatore caratterizzato dal possedere nucleo e conucleo aventi dimensione finita e immagine chiusa.
  • Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess,4}}(T) è l'insieme dei numeri \lambda tali che \lambda I - T non è un operatore di Fredholm tale che la dimensione del nucleo e del conucleo non siano coincidenti.
  • Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess,5}}(T) è l'unione di \sigma_{\mathrm{ess,1}}(T) e tutte le componenti di \C \setminus \sigma_{\mathrm{ess,1}}(T) che non intersecano l'insieme risolvente \C \setminus \sigma(T).

Lo spettro essenziale è sempre chiuso, indipendentemente dalla definizione usata, e si ha:

 \sigma_{\mathrm{ess},1}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},2}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},3}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},4}(T) \subset \sigma_{\mathrm{ess},5}(T) \subset \sigma(T) \subset \mathbf{C}

Il raggio spettrale dello spettro essenziale è dato da:

 r_{\mathrm{ess},k}(T) = \max \{ |\lambda| : \lambda\in\sigma_{\mathrm{ess},k}(T) \}

Lo spettro essenziale di un operatore T è invariante se a T si somma un operatore compatto per k = 1,2,3,4, ma non per k = 5. Il caso k = 4, in particolare, fornisce la parte di spettro che è indipendente dalla perturbazione di un operatore compatto:

 \sigma_{\mathrm{ess},4}(T) = \bigcap_{K \in K(X)} \sigma(T+K)

dove K(X) è l'insieme degli operatori compatti in X.

Operatori limitati autoaggiunti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Operatore autoaggiunto.

Sia X uno spazio di Hilbert e T un operatore limitato autoaggiunto definito su X. Lo spettro essenziale \sigma_{\mathrm{ess}}(T) di T è l'insieme dei numeri complessi \lambda tali che:

 \lambda\, I - T

non è un operatore di Fredholm. Si tratta sempre di un insieme chiuso che è un sottoinsieme dello spettro, in tal caso contenente solo valori reali data la natura dell'operatore considerato (autoaggiunto).

Se K è un operatore compatto su X, allora lo spettro essenziale di T e T+K coincidono.

Il criterio di Weyl afferma che \lambda è nello spettro di T se esiste una successione \{\psi_k\} in X tale che \|\psi_k\|=1 e:

 \lim_{k\to\infty} \left\| T\psi_k - \lambda\psi_k \right\| = 0

mentre \lambda è nello spettro essenziale se la successione \{\psi_k\} non contiene nessuna sottosuccessione convergente (questo si verifica, ad esempio, se \{\psi_k\} è ortonormale e tale successione viene detta successione singolare.

Il complementare dello spettro essenziale di T è lo spettro discreto \sigma_{\mathrm{discr}}(T):

 \sigma_{\mathrm{discr}}(T) = \sigma(T) \setminus \sigma_{\mathrm{ess}}(T)

e \lambda \in \sigma_{\mathrm{discr}}(T) se è un autovalore isolato con molteplicità finita, ovvero la dimensione di:

 \{ \psi \in X : T\psi = \lambda\psi \}

è finita e non nulla. Inoltre, esiste un \epsilon > 0 tale che se e solo se \mu \in \sigma(T) e |\mu - \lambda|<\epsilon allora \mu = \lambda.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
  • (DE) H. Weyl (1910), Über gewöhnliche Differentialgleichungen mit Singularitäten und die zugehörigen Entwicklungen willkürlicher Funktionen, Mathematische Annalen 68, 220–269.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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