Spettro di potenza

In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

$E_s = ||\mathbf s||^2 = \int_{-\infty}^{\infty} s^2 (t) \, dt$

dove $s(t)$ è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

$||\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_2||^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2} \right]^2 \, dt = E_{s_1} + E_{s_2} + 2 \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{s}_{1} \cdot \mathbf{s}_{2} \, dt$

dove il termine $2 \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{s}_{1} \cdot \mathbf{s}_{2} \, dt$ è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è $[V^2 \cdot s / \Omega]$, se invece è una corrente elettrica allora $[A^2 \cdot s / \Omega]$.

Spettro di potenza

Per approfondire, vedi Rappresentazione spettrale dei segnali.

Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

$u(t) \cdot v(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) v(t) \, dt$

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

$u(t) \cdot v(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) v(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \, dt \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) e^{i \omega t} \, d\omega$

dove $V(\omega), U(\omega)$ sono gli spettri dei segnali $v(t), u(t)$ rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

$u(t) \cdot v(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) \, d\omega \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{i \omega t} \, dt$

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di $\omega$, allora:

$u(t) \cdot v(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) U^{*}(\omega) \, d\omega$

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

$|u(t)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} u^2 \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} |U(\omega)|^{2} \, d\omega$

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineare

Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare.

In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è dato da:

$E = |u_{out}|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S_{out}(\omega) S_{out}^{*}(\omega) \, d\omega$

Se ricordiamo che:

$S_{out} (\omega) = k(i \omega) S_{in}(\omega)$

dove $k(i \omega)$ è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

$E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |k(i \omega)|^2 S_{in}(\omega) S_{in}^{*}(\omega) \, d\omega$

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

$k_p(\omega) = |k(i\omega)|^2 = \frac{W_{out}(\omega)}{W_{in}(\omega)}$

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza $W(\omega) = S(\omega) S^* (\omega)$.

Voci correlate

• Rappresentazione dinamica dei segnali
• Rappresentazione spettrale dei segnali
• Trasformata di Fourier
• Sistema dinamico lineare