Spettro di potenza

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In elettronica e teoria dei segnali un segnale può essere rappresentato come un vettore nello spazio complesso a infinite dimensioni, in particolare uno spazio di Hilbert.

Una volta introdotto l'apparato matematico vettoriale dei segnali nello spazio di Hilbert possiamo definire l'energia di un segnale come:

E_s = ||\mathbf s||^2 = \int_{-\infty}^{\infty} s^2 (t) \, dt

dove s(t) è il segnale. Da notare che le energie non sono additive nello spazio di Hilbert dei segnali, infatti:

||\mathbf{s}_1 + \mathbf{s}_2||^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \left[\mathbf{s}_{1} + \mathbf{s}_{2} \right]^2 \, dt = E_{s_1} + E_{s_2} + 2 \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{s}_{1} \cdot \mathbf{s}_{2} \, dt

dove il termine 2 \cdot \int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{s}_{1} \cdot \mathbf{s}_{2} \, dt è chiamato termine di cross energy. Se il segnale è una tensione allora l'unità di misura dell'energia è [V^2 \cdot s / \Omega], se invece è una corrente elettrica allora [A^2 \cdot s / \Omega].

Spettro di potenza[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Rappresentazione spettrale dei segnali.

Il prodotto di due segnali, nella teoria vettoriale dei segnali è definito come un prodotto scalare nello spazio di Hilbert:

u(t) \cdot v(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) v(t) \, dt

Nell'ambito della teoria spettrale dei segnali tramite la trasformata di Fourier il prodotto dei due segnali si esprime come:

u(t) \cdot v(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) v(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \, dt \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) e^{i \omega t} \, d\omega

dove V(\omega), U(\omega) sono gli spettri dei segnali v(t), u(t) rispettivamente. Cambiamo l'ordine di integrazione:

u(t) \cdot v(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) \, d\omega \int_{-\infty}^{\infty} u(t) e^{i \omega t} \, dt

allora gli spettri dei segnali sono funzioni complesse di \omega, allora:

u(t) \cdot v(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} V(\omega) U^{*}(\omega) \, d\omega

che è la formula generalizzata di Rayleigh: il prodotto scalare di due segnali è proporzionale al prodotto scalare dei loro spettri.

Nel caso di un segnale lo spettro di potenza è dato da:

|u(t)|^2 = \int_{-\infty}^{\infty} u^2 \, dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} |U(\omega)|^{2} \, d\omega

interpretabile come la somma di infiniti contributi del segnale a diverse frequenze.

Spettro di potenza di un sistema lineare[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Sistema dinamico lineare.

In un sistema lineare dinamico l'energia di un segnale è dato da:

E = |u_{out}|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S_{out}(\omega) S_{out}^{*}(\omega) \, d\omega

Se ricordiamo che:

S_{out} (\omega) = k(i \omega) S_{in}(\omega)

dove k(i \omega) è la funzione di trasferimento del sistema. Per cui l'energia del segnale:

E = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |k(i \omega)|^2 S_{in}(\omega) S_{in}^{*}(\omega) \, d\omega

cioè l'energia del segnale è esprimibile in termini di spettri del segnale.

La quantità:

k_p(\omega) = |k(i\omega)|^2 = \frac{W_{out}(\omega)}{W_{in}(\omega)}

è la risposta del sistema all'energia trasferita. La grandezza W(\omega) = S(\omega) S^* (\omega).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]