Spazio lenticolare

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In matematica, uno spazio lenticolare è una particolare varietà ellittica. Si tratta di una 3-varietà avente una struttura di varietà riemanniana con curvatura sezionale ovunque pari a +1. Uno spazio lenticolare è indicato con

L(p,q)

e dipende da una coppia di interi coprimi (p,q). Gli spazi lenticolari sono 3-varietà particolarmente semplici, il cui gruppo fondamentale è un gruppo ciclico finito.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia S^3 l'ipersfera in \R^4. Identificando \R^4 con \mathbb C^2, questa può essere definita come

S^3 = \big\{(z,w)\in\mathbb C^2\ \big|\ |z|^2+|w|^2=1\big\}.

Sia (p,q) una coppia di interi coprimi, con p>0. Sia \omega la radice dell'unità

 \omega = e^{2\pi i/p}.\,\!

Anche l'elemento \omega^q è una radice primitiva p-esima dell'unità. Si consideri l'applicazione lineare

f:\mathbb C^2\to\mathbb C^2
 f(z,w) = (\omega z, \omega^q w).

La mappa f è un isomorfismo lineare su \mathbb C . Poiché |\omega|=|\omega^q|=1, la f preserva la norma dei vettori e quindi manda S^3 in sé. Letta su \R^4, è rappresentata da una matrice ortogonale 4\times 4. Si tratta quindi di una isometria di \R^4: in particolare, preserva S^3 e si restringe ad una isometria di S^3

f:S^3\to S^3.

L'isometria f genera un gruppo di isometrie

\{f, f^2,\ldots, f^p = {\rm id}\}\,\!

isomorfo al gruppo ciclico di ordine p. Lo spazio lenticolare è lo spazio quoziente rispetto a questo gruppo di isometrie.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Varietà ellittica[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo di isometrie generato da f agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il quoziente è quindi una varietà topologica compatta e la proiezione

p:S^3\to L(p,q)\,\!

è un rivestimento. Si tratta del rivestimento universale, poiché S^3 è semplicemente connessa.

Poiché la f è una isometria, il quoziente L(p,q) eredita una struttura di varietà riemanniana. Come S^3, questa ha curvatura sezionale ovunque pari a +1 ed è quindi un esempio di varietà ellittica.

Gruppo fondamentale[modifica | modifica wikitesto]

Il gruppo fondamentale di L(p,q) è isomorfo al gruppo ciclico \mathbb Z/_{p\mathbb Z} .

Dipendenza dai parametri[modifica | modifica wikitesto]

Gli spazi L(p,q) e L(p',q'):

Per quanto scritto, solitamente si suppone p>q>0.

Tra gli spazi lenticolari vi sono quindi esempi di 3-varietà con lo stesso gruppo fondamentale ma non omotopicamente equivalenti, ad esempio

L(5,1), \quad L(5,2)

e varietà omotopicamente equivalenti ma non omeomorfe, ad esempio

L(7,1), \quad L(7,2).

Per p=2 si ottiene soltanto la varietà L(2,1); in questo caso la funzione f è la mappa antipodale e quindi il quoziente L(2,1) è lo spazio proiettivo reale

L(2,1) = \mathbb R\mathbb P^3.

Geometrizzazione[modifica | modifica wikitesto]

Uno spazio lenticolare è sempre una 3-varietà irriducibile e prima.

Per la congettura di geometrizzazione di Thurston, dimostrata da Grigori Perelman, una 3-varietà compatta avente gruppo fondamentale ciclico finito è necessariamente uno spazio lenticolare.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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