Seminorma

In algebra lineare, una seminorma è una generalizzazione del concetto di norma che, a differenza di quest'ultima, può assegnare lunghezza zero anche ad un vettore diverso da zero.

Uno spazio vettoriale topologico $X$ nel quale è definita una famiglia $P$ di seminorme viene detto spazio localmente convesso se

$\cap_{p \in P} \{ x \in X | p(x)=0_{X}\} = \{0_{X}\}$.

Definizione

Una seminorma definita su uno spazio vettoriale $X$ sul campo $\Bbb{K}$, che può essere quello dei numeri reali o complessi, è una funzione

$\begin{matrix} \| \cdot \|:& X & \longrightarrow & [0,+\infty)\\ & x & \mapsto &\| x \| \end{matrix}$

che verifica la condizione di omogeneità:

$\| \lambda x \|=|\lambda| \| x \| \qquad \forall \lambda \in \Bbb{K}$

e la disuguaglianza triangolare:

$\| x+y \|\leq \| x \|+ \| y \| \qquad \forall x,y \in X$

Spazio localmente convesso

Uno spazio localmente convesso è definito come uno spazio vettoriale $X$ nel quale è definita una famiglia di seminorme $\{ \| \cdot \|_\alpha \}_{\alpha \in A}$. La topologia naturale che caratterizza uno spazio localmente convesso è la topologia più debole tale per cui le seminorme della famiglia sono funzioni continue, e continua è l'operazione di addizione.

Una base di intorni del punto $x_0$ per tale topologia si ottiene definendo per ogni sottoinsieme finito B di A:

$U_{B, \varepsilon}(x_0) = \{x \in V : \| x - x_0 \|_\alpha < \varepsilon, \ \ \alpha \in B\} \qquad \forall \epsilon >0$

Si dimostra che se uno spazio localmente convesso è metrizzabile, allora è possibile definire una topologia generata da una famiglia numerabile di seminorme ed il punto 0 ha una base numerabile di intorni. Uno spazio localmente convesso completo e metrizzabile è detto spazio di Fréchet.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed; Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2^a ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980. ISBN 0125850506

Voci correlate

• Norma
• Distanza
• Valore assoluto
• Sfera unitaria
• Prodotto scalare
• Spazio di Banach

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