Spazio di Fréchet

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In matematica, uno spazio di Fréchet è uno spazio vettoriale topologico localmente convesso che è completo rispetto a una metrica invariante sotto traslazione. Sono diversi gli esempi di spazi di funzioni che sono spazi di Fréchet, tra i più rilevanti gli spazi di Banach, che sono completi rispetto alla metrica indotta dalla norma.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Gli spazi di Fréchet possono essere definiti in due modi equivalenti: il primo utilizza una metrica invariante sotto traslazione, il secondo una famiglia numerabile di seminorme.

Uno spazio vettoriale topologico X è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • È localmente convesso
  • La sua topologia può essere indotta da una metrica invariante sotto traslazione, ovvero una distanza d : X \times X \to \R tale per cui d(x,y) = d(x+a,y+a) per tutti gli a,x,y \in X. Questo significa che U \subset X è aperto se e solo se per ogni u \in U esiste \epsilon > 0 tale che \{v : d(u, v) < \epsilon \} \subset U.
  • È uno spazio metrico completo.

Si nota che non vi è una nozione naturale di distanza tra due punti di uno spazio di Fréchet: differenti metriche invarianti sotto traslazione possono infatti indurre la medesima topologia.

In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico X è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:

  • È uno spazio di Hausdorff
  • La sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme \| \cdot \|_k , con k = 0,1,2 \dots. Questo significa che U \subset X è aperto se e solo se per ogni u \in U esistono K \ge 0 e \epsilon > 0 tali per cui \{v : \| u - v \|_k < \epsilon \ \forall k \le K\} \subset U.
  • È completo rispetto alla famiglia di seminorme.

Una successione ( x_n ) \in X converge a x nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a x rispetto ad ognuna delle seminorme.

Costruzione di spazi di Fréchet[modifica | modifica sorgente]

La seminorma | \cdot | è una funzione definita da uno spazio vettoriale X che mappa in \R e che soddisfa le tre seguenti proprietà:

\|x\| \geq 0 \qquad \|x+y\| \le \|x\| + \|y\| \qquad  \|c\cdot x\| = |c| \|x\|

per tutti i vettori x e y in X, e per ogni scalare c.

Se | x | =0 allora x=0, e infatti | \cdot | è di fatto una norma. A differenza delle norme, però, le seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale X, sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme | \cdot |_k con le seguenti proprietà:

  • Se x \in X e | x |_k = 0 per k \ge 0, allora x=0.
  • Se (x_n) è una successione in X che è una successione di Cauchy rispetto ad ogni seminorma | \cdot |_k, allora esiste x \in X tale che (x_n) converge a x rispetto ad ogni seminorma | \cdot |_k.

La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende X uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno spazio di Hausdorff mentre la seconda che sia completo.

La medesima topologia può essere generata utilizzando una metrica completa invariante sotto traslazione definita da:

d(x,y)=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad x, y \in X

Si nota che la funzione u \to u / (1+u) mappa [0,\infty) in [0,1) in modo monotono, e dunque la precedente definizione assicura che la distanza d(x,y) è "piccola" se e solo se esiste K abbastanza "grande" da fare in modo che | x - y |_k sia "piccola" per k=0, \dots , K.

Differenziazione in spazi di Fréchet[modifica | modifica sorgente]

Se X e Y sono spazi di Fréchet, allora lo spazio L(X,Y) degli operatori lineari continui da X in Y non è uno spazio Fréchet. Questa è la maggiore distinzione tra la teoria degli spazi di Banach e quella degli spazi di Fréchet, che necessitano di una differente definizione di differenziazione con continuità: la derivata di Gâteaux.

Siano X e Y spazi di Fréchet, U un aperto di X, P : U \to Y una funzione, x \in U e h \in X. Si dice che P è una funzione differenziabile in x nella direzione h se esiste il limite:

D(P)(x)(h) = \lim_{t\to 0} \,\frac{1}{t}\Big(P(x+th)-P(x)\Big)

Si dice che P è differenziabile con continuità in U se D(P):U\times X \to Y è una funzione continua. Se P : U \to Y è differenziabile con continuità allora l'equazione differenziale:

x'(t) = P(x(t)) \qquad x(0) = x_0\in U

non ha necessariamente soluzioni, e se esistono possono non essere uniche. Questo è in forte contrasto con la situazione negli spazi di Banach.

Il teorema della funzione inversa non è valido in spazi di Fréchet: un suo parziale sostituto è il teorema di Nash-Moser.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, 2ª ed., New York, McGraw-Hill inc., 1991, ISBN 0070542368.
  • (EN) Bourbaki, Topological vector spaces, Springer (1987) (Translated from French)
  • (EN) J.L. Kelley, I. Namioka, Linear topological spaces, Springer (1963)
  • (EN) G. Köthe, Topological vector spaces, 1, Springer (1969)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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