Spazio di Besov

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In analisi funzionale, uno spazio di Besov B^s_{p,q}(\R) è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando 1 \le p e q \le \infty. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev.[1] Nello specifico, sia:

 \Delta_h f(x) = f(x-h) - f(x)

una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:

 \omega^2_p(f,t) = \sup_{|h| \le t} \left \| \Delta^2_h f \right \|_p

Se n è un numero intero non negativo, definendo s = n + \alpha con 0 < \alpha \le 1, lo spazio di Besov B^s_{p,q}(\R) contiene tutte le funzioni f tali che:

 f \in W^{n, p}(\R) \qquad \int_0^\infty \left|\frac{ \omega^2_p \left ( f^{(n)},t \right ) } {t^{\alpha} }\right|^q \frac{dt}{t} < \infty

dove W^{n, p}(\R) è uno spazio di Sobolev.

Nello spazio di Besov B^s_{p,q}(\R) è definita la norma:

 \left \|f \right \|_{B^s_{p,q}(\mathbf{R})} = \left( \|f\|_{W^{n, p} (\mathbf{R})}^q + \int_0^\infty \left|\frac{ \omega^2_p \left ( f^{(n)}, t \right ) } {t^{\alpha} }\right|^q \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q}}

Lo spazio B^s_{2,2}(\R) coincide con il classico spazio di Sobolev H^s(\R).

Differenze finite e moduli di continuità[modifica | modifica wikitesto]

La differenza finita di ordine m e passo h applicata a f(x) è definita nel seguente modo:

\Delta^m_h f(x) = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} (-1)^{m-k} f(x+kh)

Da cui il modulo di continuità di ordine m di f in Lp è definito da:

 \omega^m_p(f,t) = \sup_{|h| \le t} \| \Delta^m_h f\|_p

Siano \Omega \subseteq \R^d un dominio, s > 0 e p,q \in (0, \infty]. Si ponga inoltre m := [s] + 1. Lo spazio di Besov:

B^s_{p,q}(\Omega) := B^{s,q}_p(\Omega) := B^s_q(L^p(\Omega))

è l'insieme delle funzioni in L^p(\Omega) tali che la quasi-seminorma:

|f|_{B^s_q(L^p(\Omega))} = \begin{cases} \left( \int_0^{\infty} [t^{-s} \omega^m_p(f,t)]^q \frac{dt}{t} \right)^{\frac{1}{q}} \quad & 0 < q < \infty\\
 \sup_{t \in (0, \infty)} t^{-s} \omega^m_p(f,t) & q = \infty \end{cases}

è finita. In simboli:

B^s_q(L^p(\Omega)) := \{f \in L^p \mbox{ t.c. } |f|_{B^s_q(L^p(\Omega))} < \infty \}

Norma[modifica | modifica wikitesto]

Questo spazio è munito della norma:

\| f \|_{B^s_q(L^p(\Omega))} = \| f \|_{L^p} + |f|_{B^s_q(L^p(\Omega))}

Inclusioni[modifica | modifica wikitesto]

Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:

 B^s_{q_1}(L^p(\Omega)) \subset B^s_{q_2}(L^p(\Omega)) \qquad q_1 < q_2

Per quanto riguarda B^1_{\infty}, talvolta detto spazio di Zygmund (B^1_{\infty} (\mathcal{C}))[2], si hanno le seguenti inclusioni:

  •  \mathcal{C}^{0,1}(\overline{\Omega}) \subset B^1_{\infty}(\mathcal{C}^0(\overline{\Omega}))
  •  W^1(L^p(\Omega)) \subseteq B^1_{\infty}(L^p(\Omega)), dove l'uguaglianza vale per p=2.

Interpolazione[modifica | modifica wikitesto]

Siano \Omega \subseteq \R^d un dominio lipschitziano, m \in \N e p \in [1, \infty]. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di f in Lp:

K(f, t^m; L^p(\Omega), W^m(L^p(\Omega))) \approx \omega^m_p(f,t)

Quindi gli spazi che interpolano L^p(\Omega) e W^m(L^p(\Omega)) sono spazi di Besov:

(L^p(\Omega), W^m(L^p(\Omega)))_{\theta, q} = B^{\theta m}_q (L^p(\Omega)) \qquad \forall \, \theta \in (0,1) \quad \forall \, q \in (0, \infty]

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Besov in MathWorld, Wolfram Research.
  2. ^ DeVore, R. "Nonlinear Approximation", Acta Numerica (1998), pag. 92.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976.
  • (EN) Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976.
  • (EN) Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987.
  • (EN) Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica