Sommazione per parti

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In matematica, la sommazione per parti, anche chiamata trasformazione (o lemma) di Abel, è un procedimento che permette di scrivere in un altro modo la somma (finita o infinita) del prodotto di due successioni, consentendo così di avere una stima sul comportamento della serie in termini di convergenza.

Enunciato del lemma[modifica | modifica wikitesto]

Siano \{a_n\} e \{b_n\} due successioni, e sia

A_n = \sum_{i=0}^n{a_i}

la somma parziale n-esima di \{a_n\}, e si ponga A_{-1}=0. Vale allora l'eguaglianza[1]:

\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} .

Una formulazione equivalente può essere espressa con l'operatore differenza in avanti \Delta{b_n} := b_{n+1}-b_n :

\sum_{i=m}^{n}{b_i\Delta{A_{i-1}}} = A_n b_n - A_{m-1}b_m - \sum_{i=m}^{n-1}{A_i\Delta{b_i}},

che evidenzia l'analogia tra questa formula e quella di integrazione per parti:

\int_{a}^{b}{f(x)d(g(x))} = g(b)f(b) - g(a)f(a) - \int_{a}^{b}{g(x)d(f(x))}.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

La dimostrazione fa uso soltanto di operazioni algebriche, il che rende la formula valida in qualunque campo. Il lemma continua a valere anche quando una successione abbia elementi in uno spazio vettoriale sul campo \mathcal{K}, e l'altra in \mathcal{K}.

Per la definizione di \{A_n\}, si ha[1]:

\sum_{i=m}^{n}{a_i b_i} = \sum_{i=m}^{n}{(A_i - A_{i-1})b_i} = \sum_{i=m}^{n}{A_i b_i} - \sum_{i=m-1}^{n-1}{A_i b_{i+1}} =
= \left(A_n b_n + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_i}\right) - \left(\sum_{i=m}^{n-1}{A_i b_{i+1}} + A_{m-1}b_m\right) =  A_n b_n - A_{m-1}b_m + \sum_{i=m}^{n-1}{A_i(b_i - b_{i+1})} ,

cioè la tesi, Q.E.D.

Teoremi derivati[modifica | modifica wikitesto]

Criterio di Dirichlet per le serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Dirichlet (matematica).

Il lemma di Abel viene usato per provare il criterio di Dirichlet per la convergenza di serie[2].

Criterio di Leibniz per le serie[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Criterio di Leibniz.

Il criterio di Leibniz può essere dimostrato in modo elementare come corollario del criterio di Dirichlet.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ a b Rudin, pag. 70
  2. ^ Rudin, pag.71

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, A. A. Arthur, S. L. Langman, 1976, p. 70, ISBN 0-07-054235-X..

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]