Somma di Dedekind

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In matematica, le somme di Dedekind, così chiamate in onore di Richard Dedekind, sono funzioni di tre argomenti a valori interi esprimibili mediante specifiche somme di prodotti di valori della funzione a denti di sega. Dedekind le ha introdotte per formulare l'equazione funzionale della funzione eta di Dedekind. In seguito, queste funzioni speciali sono state ampiamente studiate nella teoria dei numeri e sono risultate utili in alcuni problemi di topologia. Le somme di Dedekind soddisfano un gran numero di relazioni, di cui solo alcune compaiono in questa voce.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Consideriamo una particolare funzione a denti di sega \left( \left( \right) \right):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definita come segue

((x))=\begin{cases}
x-\lfloor x\rfloor - 1/2, &\mbox{if }x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z};\\
0,&\mbox{if }x\in\mathbb{Z}.
\end{cases}

Si tratta di una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri reali \mathbb{R} e come codominio \left(-\frac12,\frac12\right). È una funzione periodica con periodo pari a 1 ed è discontinua solo in corrispondenza dei valori interi e dispari del suo argomento, cioè tali che \left( \left( -x\right) \right) = -\left( \left( x\right) \right).

Possiamo allora definire la funzione

D :\mathbb{Z}^2 \times (\mathbb{Z}\setminus\{0\}) \to \mathbb{R}

ponendo

D(a,b;c)=\sum_{n \bmod c} \left( \Bigg( \frac{an}{c} \Bigg) \right)  \left( \left( \frac{bn}{c} \right) \right),

dove le espressioni al secondo membro sono chiamate somme di Dedekind.

Un'importante riduzione della funzione si ha ponendo a=1; essa in genere viene denotata con

s(b,c)= D(1,b;c).

Proprietà elementari[modifica | modifica sorgente]

Dalla definizione segue subito che D è simmetrica rispetto allo scambio dei primi due argomenti:

D(a,b;c)=D(b,a;c),

e che, per la disparità della (()),

D(−a,b;c) = −D(a,b;c),
D(a,b;−c) = D(a,b;c).

Chiaramente, la D è periodica in ciascuno dei suoi primi due argomenti, il terzo argomento essendo la lunghezza del periodo sia per a che per b:

D(a,b;c)=D(a+kc,b+lc;c), for all integers k,l.

Se d è un intero positivo, allora

D(ad,bd;cd) = dD(a,b;c),
D(ad,bd;c) = D(a,b;c), if (d,c) = 1,
D(ad,b;cd) = D(a,b;c), if (d,b) = 1.

L'ultima uguaglianza si può dimostrare servendosi della proprietà

\sum_{n \bmod c} \left( \left( \frac{n+x}{c} \right) \right)=\left(\left( x\right)\right),\qquad\forall x\in\mathbb{R}.

Inoltre la az = 1 (mod c) implica D(a,b;c) = D(1,bz;c).

Caso particolare[modifica | modifica sorgente]

Se b e c sono numeri coprimi, per la s(b,c) si ha l'espressione

s(b,c)=\frac{-1}{c} \sum_\omega
\frac{1} { (1-\omega^b) (1-\omega ) } 
+\frac{1}{4} - \frac{1}{4c},

dove la somma riguarda le c-esime radici dell'unità diverse da 1, ossia l'insieme dei valori \omega tali che \omega^c=1 ma \omega\not=1.

If b, c > 0 sono coprimi, allora

s(b,c)=\frac{1}{4c}\sum_{n=1}^{c-1} 
\cot \left( \frac{\pi n}{c} \right)
\cot \left( \frac{\pi nb}{c} \right).

Legge di reciprocità[modifica | modifica sorgente]

Se b e c sono interi positivi coprimi, allora

s(b,c)+s(c,b) =\frac{1}{12}\left(\frac{b}{c}+\frac{1}{bc}+\frac{c}{b}\right)-\frac{1}{4}.

Riscritta questa equazione nella forma

12bc \left( s(b,c) + s(c,b) \right) = b^2 + c^2 -3bc + 1,

segue che il numero 6c s(b,c) è un intero.

Se k = (3, c), allora

 12bc\, s(c,b)=0 \mod kc

e

 12bc\, s(b,c)=b^2+1 \mod kc.

Segnaliamo una relazione di grande rilievo nella teoria delle funzione eta di Dedekind. Sia q = 3, 5, 7 or 13 e sia n = 24/(q − 1). In tal caso dati interi a, b, c, d con ad − bc = 1 (e quindi appartenente al gruppo modulare), con c scelto in modo che sia c = kq per qualche intero k > 0, definiamo

\delta = s(a,c) - \frac{a+d}{12c} - s(a,k) + \frac{a+d}{12k} .

Ne segue che nδ è un intero pari.

Generalizzazione di Rademacher della legge di reciprocità[modifica | modifica sorgente]

Hans Rademacher ha trovato la seguente generalizzazione delle legge di reciprocità per le somme di Dedekind.[1] Se a,b e c sono interi positivi mutuamente coprimi, allora

D(a,b;c)+D(b,c;a)+D(c,a;b)=\frac{1}{12}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}-\frac{1}{4}.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Hans Rademacher, Generalization of the Reciprocity Formula for Dedekind Sums, Duke Mathematical Journal 21 (1954), pp. 391-397

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica