Soluzione di Lemaitre

La soluzione di Lemaître dell'equazione di campo di Einstein studia il comportamento dell'universo in equilibrio dinamico utilizzando la costante cosmologica, anche se con un altro significato rispetto a quello attribuitole da Albert Einstein. Il valore di $\Lambda$ è maggiore di quello usato da Einstein, in modo da avere un istante iniziale con $R=0$ ; per questo Lemaître si può considerare il padre del Big Bang.

La forma della soluzione di Lemaître è: $k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-(HR)^{2}$

dove:

$k$ : parametro di curvatura

$\Lambda$ : costante cosmologica

$H$ : costante di Hubble

$\rho _{0}$

la soluzione può anche essere scritta, ricordando la legge di Hubble $v=HR$ , come:

$k={\frac {8}{3}}\pi \rho _{0}G{\frac {1}{R}}+{\frac {1}{3}}\Lambda R^{2}-{\dot {R}}^{2}$

In questi modelli si ha che la costante cosmologica ha un valore caratteristico: $\Lambda _{*}=-{\frac {4k^{3}}{(8\pi G\rho _{0})^{2}}}$ . Si può allora usare questo valore come discriminante per le differenti tipologie di universo, infatti se:

per $\Lambda =\Lambda _{*}$ si ha un universo piatto

per $\Lambda >\Lambda _{*}$ si hanno invece i tre casi in cui a seconda di quanto vale $k$ ho un universo aperto chiuso o aperto critico. In particolare per:

$k<0$ : universo chiuso, in cui l'attrazione gravitazionale provoca un rallentamento dell'espansione ed un successivo collasso dell'universo, che quindi comincerà a contrarsi.

$k=0$ : universo aperto critico, in cui l'attrazione gravitazionale non è sufficiente a far collassare l'universo su sé stesso come per quello chiuso ma non è nemmeno sufficiente a garantire un'espansione perpetua, si avrà allora un universo che arriverà ad un tempo infinito con velocità zero.