Sistema pi

In matematica, un sistema pi, o anche $\pi \;$-sistema, su un insieme $\Omega \;$ è una famiglia P non vuota di sottoinsiemi di $\Omega \;$ (ovvero $P \subseteq$ $\mathcal{P}(\Omega)$), tale che l'intersezione di due elementi (e quindi di un numero finito di elementi) di P è ancora in P; ovvero P è stabile per intersezioni finite.

Proprietà

• Se A è un'algebra di insiemi (in particolare se è una σ-algebra), allora A è un $\pi \;$-sistema.
• Se A è un $\pi \;$-sistema che è anche un sistema Dynkin, allora A è una σ-algebra.

Unicità dell'estensione

Una misura finita è determinata unicamente dai suoi valori su di un $\pi \;$-sistema, come afferma la seguente proposizione. Siano $\mu \;$ e $\;$ misure su uno spazio misurabile $(X, \Sigma) \;$ e sia $\mathcal{I}$ un $\pi \;$-sistema che generi $\Sigma \;$. Se

• $\mu ( X ) = \nu ( X ) < \infty$

• $\mu |_{\mathcal{I}} = \nu |_{\mathcal{I}}$

allora $\mu = \nu \;$

Voci correlate

• Lemma di Dynkin

Riferimenti

• Allan Gut, Probability: A Graduate Course, New York, Springer, 2005. DOI:10.1007/b138932. ISBN = 0-387-22833-0
• David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 2007. ISBN 0521406056

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