Sistema dinamico (fisica matematica)

Nella fisica matematica contemporanea il concetto di sistema dinamico nasce dall'esigenza di costruire un modello matematico generale in grado di descrivere l'evoluzione nel tempo di tutti i sistemi (fisici e non) secondo opportune leggi che legano lo stato presente a quello futuro.

Il concetto di 'stato' è difficilmente definibile in senso generale a causa dell'enorme varietà di forme che esso può assumere: in generale esso può essere definito come l'insieme dei valori delle grandezze fisiche di un sistema, prese opportunamente come riferimento cioè caratteristiche del sistema stesso, che ne definiscono la sua 'condizione' in un qualsiasi istante temporale; in altri termini si tratta di una descrizione sufficientemente esauriente del sistema al tempo t.

In meccanica classica ad esempio, dove l'evoluzione dei sistemi è regolata da equazioni differenziali, lo stato è definito, per ogni grado di libertà, dalla posizione e dal momento, in quanto la specificazione di queste grandezze all'istante di osservazione consente di predire il comportamento futuro (e passato) del sistema. L'evoluzione nel tempo di un sistema è descritta dunque dalla variazione (evoluzione) nel tempo dello 'stato' (equazione di transizione di stato).

L'origine storica di tali problematiche risiede nel problema generale della dinamica proprio in meccanica classica. L'estensione ai sistemi non meccanici (elettrici e termodinamici) ha dato vita alla teoria dei sistemi in ambito ingegneristico (ad es. automatica).

Se l'evoluzione avviene ad intervalli discreti di tempo il sistema viene chiamato discreto, se invece l'evoluzione è continua e la regola è data da un'equazione differenziale il sistema viene chiamato continuo. L'evoluzione di un sistema può essere dettata da forzanti esterne al sistema che agiscono direttamente sullo stato, nel qual caso il sistema si dirà forzato, oppure da forzanti interne al sistema ovvero da una dinamica interna, e in tal caso il sistema si dirà non forzato o libero.

Definizione

Secondo la nozione più astratta, un sistema dinamico è definito da

• Uno spazio delle fasi, ossia un insieme $X$ i cui elementi rappresentano tutti gli stati possibili che il sistema può assumere. La struttura matematica che gli viene assegnata dipende dal contesto, e può essere quella di
  • spazio topologico: si riferisce a sistemi in cui ha senso parlare di continuità nell'evoluzione temporale dello stato, ma non è necessariamente definito un concetto di metrica;
  • spazio misurabile: è relativa a tutti quei sistemi nei quali allo stato viene associata in generale solo una nozione di misura, ad esempio una probabilità;
  • varietà differenziabile: rientra nella categoria degli spazi topologici, ma in più ammette l'utilizzo di strumenti metrici e differenziali. È probabilmente la struttura più studiata, sia perché si presta a modellare i sistemi fisici (che normalmente non possono prescindere da una valutazione metrica quantitativa), sia perché la grande generalità dei sistemi definiti su spazi topologici rende molto più difficile ottenere risultati soddisfacenti;
  • varietà complessa: si tratta di un'ulteriore restrizione rispetto alle varietà differenziabili, in quanto si impone una struttura di differenziabilità in senso complesso (che costituisce una nozione molto più rigida della differenziabilità reale).
• Un insieme di tempi: può essere un insieme continuo o uno discreto, a seconda del modello adottato. Il tempo rappresenta qui semplicemente un parametro al variare del quale il sistema descrive una traiettoria nello spazio delle fasi, e proprio da questa definizione prende l'appellativo dinamico. Normalmente allo spazio dei tempi si dà una struttura di gruppo additivo.
• Una evoluzione: il cambiamento degli stati del sistema al variare del tempo $t$ viene rappresentato da un insieme $G$ di funzioni dello spazio delle fasi in sé stesso. Esse vengono chiamate funzioni di transizione in quanto trasformano lo stato che si osserva all'istante iniziale in quello che il sistema assumerà dopo un tempo $t$; l'insieme delle funzioni di transizione

  $G=\{\varphi_t:X\to X\}$

individua solitamente un'azione di gruppo, ossia uno spazio tale che

• $\varphi_0$ sia la funzione identità (questo esprime banalmente la convenzione comunemente adottata di considerare $t=0$ come istante iniziale)
• la composizione di funzioni $\varphi_s \circ \varphi_t$ sia la funzione $\varphi_{s+t}$ (ossia, l'evoluzione al tempo $s+t$ coincida con quella che si ha trasformando lo spazio prima per un tempo $s$ e successivamente per un tempo $t$)

quest'ultima proprietà rappresenta in parole povere la stazionarietà della legge che governa l'evoluzione del sistema, ossia il fatto che le sue proprietà si mantengono inalterate al variare del tempo. Nonostante tale caratteristica non sia automaticamente soddisfatta in tutti i modelli fisici, essendo possibile l'esistenza di parametri tempo varianti non inclusi nello spazio delle fasi, in linea di principio può comunque essere resa vera a patto di modificare il modello in maniera da conglobare nello stato del sistema tutti quei parametri. Si richiede inoltre che queste funzioni siano compatibili con la struttura di $X$: nel caso in cui $X$ sia uno spazio topologico, uno spazio misurabile, una varietà differenziabile o una varietà complessa, dovranno cioè essere rispettivamente omeomorfismi, funzioni misurabili, diffeomorfismi o funzioni olomorfe.

Tipologie

I sistemi dinamici continui sono dati dal flusso associato ad un campo vettoriale il quale è un gruppo a un parametro di trasformazioni. Le linee di flusso del campo vettoriale danno le possibili evoluzioni nel tempo del sistema dinamico in questo caso sono le soluzioni dell'equazione differenziale

$\frac{dx(t)}{dt}=\,f(x(t))\,$

dove $f(x)$ è il campo vettoriale e $x(t)$ individua lo stato del sistema al tempo t.

I sistemi dinamici discreti si ottengono dall'iterazione di una funzione $f$, il gruppo di trasformazioni in questo caso è dato dall'insieme

$G=\{Id, f, f^2, f^3, ... f^n, ...\}\,$

(dove l'espressione $f^k$ indica la composizione di funzioni $f \circ .... \circ f$ di $f$ con sé stessa iterata $k$ volte).

I sistemi dinamici si classificano inoltre in base al tipo di spazio e di trasformazioni che coinvolgono:

• Sistemi dinamici topologici: sono quei sistemi dinamici in cui lo spazio X è uno spazio topologico e le trasformazioni $\varphi_t$ sono omeomorfismi.
• Sistemi dinamici differenziabili: sono quelli in cui lo spazio X è una varietà differenziabile e le trasformazioni sono diffeomorfismi.
• Sistemi dinamici misurabili: sono quelli in cui lo spazio X è uno spazio misurabile e le trasformazioni sono funzioni misurabili.

Esempi

Esempi di sistemi dinamici continui sono:

• Il sistema preda-predatore di Volterra Lotka per la dinamica delle popolazioni
• Il sistema di Lorenz per l'evoluzione delle condizioni meteorologiche

Esempi di sistemi dinamici discreti sono:

• la mappa logistica
• la mappa di Hénon
• la mappa standard

Concetti fondamentali

Concetti basilari comuni a tutti i sistemi dinamici sono i seguenti:

• Orbita: l'insieme di tutti gli stati che si incontrano partendo da un certo stato iniziale e facendo evolvere il sistema per tempi arbitrariamente lunghi nel futuro e nel passato.

• Punto fisso: un punto nello spazio delle fasi (cioè uno stato) che rimane invariato durante l'evoluzione del sistema.

• Insieme invariante: un insieme di stati che viene mandato in sé stesso dall'evoluzione del sistema, (eventualmente spostando i singoli stati all'interno dell'insieme).

• Attrattore: un insieme invariante a cui tutte le orbite tendono ad avvicinarsi per tempi che tendono all'infinito.

Bibliografia

• George Birkhoff Dynamical Systems (Providence RI, AMS, 1927) ISBN 0821833944
• Encyclopaedia of Mathematical Sciences (ISSN: 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
• Diederich Hinrichsen and Anthony J. Pritchard, Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness, Springer Verlag, 2005. ISBN 0-978-3-540-44125-0
• Morris W. Hirsch, Stephen Smale and Robert Devaney, Differential Equations, dynamical systems, and an introduction to chaos, Academic Press, 2003. ISBN 0-12-349703-5
• Kathleen T. Alligood, Tim D. Sauer and James A. Yorke, Chaos. An introduction to dynamical systems, Springer Verlag, 2000. ISBN 0-387-94677-2
• Anatole Katok and Boris Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Cambridge, 1996. ISBN 0-521-57557-5
• Steven Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos: with applications to physics, biology chemistry and engineering, Addison Wesley, 1994. ISBN 0-201-54344-3
• Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri, 2009. ISBN 9788833919171

Voci correlate

• Attrattore
• Automa (informatica)
• Controllabilità di un sistema dinamico.
• Controlli automatici
• Equazione differenziale
• Processo ergodico
• Progetto:Matematica/Elenco di voci su sistemi dinamici ed equazioni differenziali
• Sistema dinamico (teoria dei sistemi)
• Sistemi dinamici lineari invarianti alla traslazione
• Sistemi dinamici lineari tempo invarianti
• Teoria delle biforcazioni
• Trasformata di Laplace
• Z-trasformata
• Teoria del caos

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica