Sistema dinamico (teoria dei sistemi)

Un sistema dinamico è un sistema che evolve nel tempo, indicando con questo termine che sia l'ingresso che l'uscita si sviluppano nel tempo. In generale le uscite o all'istante t di un sistema dinamico dipende dagli ingressi i del sistema allo stesso istante e dal suo stato σ composto dalle variabili di stato (spesso non direttamente osservabili), che tiene conto della storia del sistema:

$\mathbf o\, (\boldsymbol \sigma,\mathbf i,t)\,$

dove: $\frac {\partial \mathbf o}{\partial \boldsymbol \sigma}\ne\mathbf 0$ altrimenti il sistema è statico.

A seconda delle caratteristiche di controllabilità del sistema gli ingressi modificano l'andamento o traiettoria dello stato: tra queste i disturbi o rumori sono quelle incontrollabili. Dall'uscita, a seconda dell'osservabilità del sistema può essere indirettamente possibile la stima dello stato.

Definizione formale

Un sistema dinamico è definito da:

• Un insieme ordinato $T$, detto insieme dei tempi;

• Un insieme $\Upsilon$, detto insieme degli ingressi;
• Un insieme $I$ di funzioni $i(\cdot) : T \rightarrow \Upsilon$ detto insieme delle funzioni di ingresso;

• Un insieme $\Omega$, detto insieme delle uscite;
• Un insieme $O$ di funzioni $o(\cdot) : T \times S \rightarrow \Omega$ detto insieme delle funzioni di uscita;

• Un insieme $S$ detto insieme degli stati;

• Una funzione $\varphi : T \times T \times S \times I \rightarrow S$, detta funzione di transizione di stato che soddisfa le seguenti proprietà:

• • consistenza: $\varphi(\,\tau, \tau, \sigma, i(\cdot)\,) = \sigma, \;\forall t \in T,\forall \sigma\in S,\forall i(\cdot)\in I;$
  • irreversibilità: $\varphi(\,t, \tau, \sigma, i(\cdot)\,)$ è definita $\forall t \geq \tau$;
  • composizione: $\varphi(\,t, \tau, \sigma, i(\cdot)\,) = \varphi(\,t , t_1, \varphi(\,t_1 , \tau, \sigma, i(\cdot)\,)\;, i(\cdot)\,)$ con $t \geq t_1 \geq \tau$
  • causalità: date due funzioni $i_1 (\cdot) , i_2 (\cdot) \in I$ identiche nell'intervallo [$\tau$, t) di $T$ si ha che $\varphi(\,t, \tau, \sigma, i_1(\cdot)\,) = \varphi(\,t, \tau, \sigma, i_2(\cdot)\,)$

Sono molto diffusi nella pratica i sistemi dinamici in cui gli insiemi Υ, I, S, Ω, O sono spazi vettoriali, in particolare i sistemi dinamici lineari.

Un'altra caratteristica fondamentale dei sistemi dinamici è data dall'insieme dei tempi T. In particolare vengono detti sistemi dinamici tempocontinui (o, più semplicemente, sistemi continui) i sistemi dinamici in cui $T = \mathbb{R}$ e sistemi dinamici tempodiscreti (sistemi discreti) i sistemi dinamici in cui $T = \mathbb{Z}$ oppure $T = \mathbb{N}$.

Classificazione

L'insieme dei tempi può avere cardinalità del continuo o numerabile (sistemi a tempo discreto). Ciò influisce sulle equazioni di stato che costituiscono parte del modello matematico del sistema, rendendole un sistema di equazioni differenziali o di equazioni alle differenze: in particolare solitamente queste si presentano come equazioni differenziali del primo ordine nel tempo dove è esplicitata rispettivamente nei due casi dalla velocità di transizione dello stato $\dot \boldsymbol \sigma \,$ o dall'assegnazione dello stato successivo $\boldsymbol \sigma (t + \Delta t)$.

$\dot \boldsymbol \sigma \, (\boldsymbol \sigma,\mathbf i,t)\, \qquad \boldsymbol \sigma_{n+1} (\boldsymbol \sigma_n,\mathbf i,t)\,$

I sistemi dinamici possono essere suddivisi per caratteristiche:

• Linearità
  • Sistemi dinamici lineari: il legame tra variabili di stato e di ingresso con la dinamica o con l'uscita è lineare (può essere espresso tramite matrici)
  • Sistemi dinamici non lineari: il legame tra variabili di stato e di ingresso con la dinamica o con l'uscita è non lineare (può essere espresso solo da funzioni non lineari)
• Stazionarietà
  • Sistemi dinamici stazionari: $\dot \sigma, o$ (per tempo discreto $\sigma(t+\Delta t), o$) non dipendono direttamente dal tempo:

$\frac {\partial \dot \boldsymbol \sigma}{\partial t}=0, \qquad \frac {\partial \boldsymbol o}{\partial t}=0$ (per tempo discreto $\frac {\partial \boldsymbol \sigma(t+\Delta t)}{\partial t}=0$)

quindi di fatto:

$\dot \boldsymbol \sigma \, (\boldsymbol \sigma,\mathbf i)\, \qquad \mathbf o\, (\boldsymbol \sigma,\mathbf i)\,$ (per tempo discreto $\boldsymbol \sigma(t+\Delta t)$)

• • Sistemi dinamici non stazionari: i parametri del sistema sono variabili al variare del tempo
• Purezza
  • Sistemi dinamici puri: $o$ non dipende direttamente dall'ingresso:

$\frac {\partial \dot \mathbf o}{\partial \mathbf i} = \mathbf 0, \qquad \mathbf o\, (\boldsymbol \sigma,t)\,$

• • Sistemi dinamici non puri che dipendono direttamente dall'ingresso.
• Numero ingressi e uscite
  • SISO (Single input single output): sistemi dinamici con un solo ingresso controllante e una sola uscita misurata (e controllata):

$\dot \sigma \, (\sigma,i,t)\, \qquad \sigma_{n+1} \, (\sigma_n,i,t)\,$

$o\, (\sigma,i,t)\,$

• • MIMO (Multiple input multiple output): l'ingresso e l'uscita sono vettori.

Inoltre possono essere tempo continui o tempo discreti. Un sistema dinamico lineare e stazionario tempo continuo è detto lineare tempo invariante LTI, mentre un sistema dinamico lineare e stazionario tempo discreto è detto lineare invariante alla traslazione LIT. L'importanza di queste sottoclassi nell'ingegneria dell'automazione risiede nella semplicità di manipolazione dei segnali dovuta alla linearità del sistema e alla sua stazionarietà.

Rappresentazione grafica

Nell’ingegneria dei sistemi, in automatica, sistemi dinamici, teoria del controllo un sistema può essere modellizzato graficamente tramite una scomposizione in un insieme di sottosistemi collegati tra loro in vario modo (serie, parallelo, retroazione ecc...), ciascuno dei quali è identificato da uno scatolotto il cui funzionamento o comportamento è descritto da una funzione di sottoprocesso che esso svolge all’interno del sistema generale. Lo schema risultante si darà schema a blocchi del sistema (si veda Modello black box).

Voci correlate

• Attrattore
• Analisi dei sistemi dinamici
• Equazione differenziale
• Processo ergodico
• Progetto:Matematica/Elenco di voci su sistemi dinamici ed equazioni differenziali
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Sistemi dinamici lineari invarianti alla traslazione
• Controlli automatici
• Trasformata di Laplace
• Z-trasformata
• Equilibrio di un sistema dinamico.
• Controllabilità di un sistema dinamico.
• Automa (informatica)
• Teoria del caos
• Identificazione di sistemi dinamici
• Sistema dinamico discreto

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