Simbolo di Christoffel

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori.

Definizione

Sia $M$ una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante $\nabla$. Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di $M$ ed un aperto $A$ di $\R^n$. Nell'aperto $A$ sono definiti i campi di vettori coordinati costanti $e_1,\ldots, e_n$ e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di $A$, la derivata covariante del campo $e_i$ nella $j$-esima direzione è una combinazione lineare

$\nabla_j e_i = \Gamma^1_{ij} e_1 + \ldots + \Gamma^n_{ij} e_n = \Gamma^k_{ij} e_k.$

con alcuni coefficienti $\Gamma^k_{ij}$. Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni $\Gamma^k_{ij}$ è una funzione liscia

$\Gamma^k_{ij}:A \to \R$

dipendente da tre parametri $i,j,k$. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante $\nabla$ nella carta.

Proprietà

Oggetto non tensoriale

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori: il loro comportamento dipende fortemente dalla carta scelta. Due carte che inducono sullo stesso aperto della varietà delle coordinate differenti

$(x_1,\ldots,x_n), \quad (y_1,\ldots,y_n)$

generano rispettivamente dei simboli di Christoffell

$\Gamma_{ij}^k, \quad \hat\Gamma_{ij}^k.$

Questi sono collegati dalla relazione

$\hat\Gamma^k_{ij} = \frac{\partial x^p}{\partial y^i}\, \frac{\partial x^q}{\partial y^j}\, \Gamma^r_{pq}\, \frac{\partial y^k}{\partial x^r} + \frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, \frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}.$

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano le coordinate come un tensore.

Torsione

Per approfondire, vedi Torsione (geometria differenziale).

I simboli di Christoffel non sono un tensore. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se $\Gamma_{ij}^k$ è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo $\Gamma_{ji}^k$ ottenuto scambiando le variabili $i$ e $j$ è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

$T_{ij}^k = \Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k.$

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita

Per approfondire, vedi Connessione di Levi-Civita.

Fissato un tensore metrico $g$ su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

$\Gamma_{jk}^i=\frac12 g^{il} \left( \frac{\partial}{\partial x^k} g_{lj} +\frac{\partial}{\partial x^j} g_{lk} -\frac{\partial}{\partial x^l} g_{jk} \right).$

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla).

Applicazioni

Derivata covariante di un campo tensoriale

La derivata covariante di un campo vettoriale $v$ può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:

$\nabla_j v^i=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k.$

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:

$\nabla_j v_i=\frac{\partial v_i}{\partial x^j}-\Gamma^k_{ij} v_k$

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:

$\nabla_k v^{ij}=\frac{\partial v^{ij}}{\partial x^k} +\Gamma^i_{k\ell}v^{\ell j}+\Gamma^j_{k\ell}v^{i\ell}$

Bibliografia

• (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
• (EN) Shoshichi Kobayashi; Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione). ISBN 0471157333

Voci correlate

• Connessione di Levi-Civita
• Derivata covariante
• Tensore di Riemann

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