Simbolo di Christoffel

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In geometria differenziale, i simboli di Christoffel sono dei coefficienti che codificano completamente una connessione in una carta particolare. I simboli dipendono fortemente dalla carta scelta: questi non sono infatti dei tensori.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Sia M una varietà differenziabile dotata di una connessione, ovvero di una derivata covariante \nabla. Una carta fornisce un diffeomorfismo fra un aperto di M ed un aperto A di \R^n. Nell'aperto A sono definiti i campi di vettori coordinati costanti e_1,\ldots, e_n e quindi tutti i tensori possono essere agevolmente scritti in coordinate. In un punto di A, la derivata covariante del campo e_i nella j-esima direzione è una combinazione lineare

\nabla_j e_i = \Gamma^1_{ij} e_1 + \ldots + \Gamma^n_{ij} e_n = \Gamma^k_{ij} e_k.

con alcuni coefficienti \Gamma^k_{ij}. Nell'ultima espressione si fa uso della notazione di Einstein. Questi coefficienti sono i simboli di Christoffel della connessione, nella carta scelta.

I simboli di Christoffel sono definiti per ogni punto: quindi ogni \Gamma^k_{ij} è una funzione liscia

\Gamma^k_{ij}:A \to \R

dipendente da tre parametri i,j,k. I simboli di Christoffel descrivono completamente e concretamente la derivata covariante \nabla nella carta.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Oggetto non tensoriale[modifica | modifica sorgente]

Nonostante la notazione, i simboli di Christoffel non sono dei tensori: il loro comportamento dipende fortemente dalla carta scelta. Due carte che inducono sullo stesso aperto della varietà delle coordinate differenti

(x_1,\ldots,x_n), \quad (y_1,\ldots,y_n)

generano rispettivamente dei simboli di Christoffell

\Gamma_{ij}^k, \quad \hat\Gamma_{ij}^k.

Questi sono collegati dalla relazione

\hat\Gamma^k_{ij} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\,
\frac{\partial x^q}{\partial y^j}\,
\Gamma^r_{pq}\,
\frac{\partial y^k}{\partial x^r}
+ 
\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, 
\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}.

A causa del secondo addendo a destra, i simboli di Christoffel non mutano le coordinate come un tensore.

Torsione[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Torsione (geometria differenziale).

I simboli di Christoffel non sono un tensore. La differenza fra due simboli di Christoffel è però un tensore: nella formula relativa ad un cambiamento di coordinate, il secondo addendo a destra (descritto sopra) infatti si cancella e resta solo il primo. D'altra parte, se \Gamma_{ij}^k è un simbolo di Christoffel, anche il simbolo \Gamma_{ji}^k ottenuto scambiando le variabili i e j è un simbolo di Christoffel (e descrive un'altra connessione). La loro differenza

T_{ij}^k = \Gamma_{ij}^k - \Gamma_{ji}^k.

è quindi un tensore. Questo tensore è la torsione della connessione. Quindi una connessione ha torsione (ovunque) nulla se e solo se i simboli di Christoffel sono (ovunque) simmetrici rispetto ai due indici in basso.

Connessione di Levi-Civita[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Connessione di Levi-Civita.

Fissato un tensore metrico g su una varietà differenziabile, esiste un'unica connessione senza torsione in cui il tensore metrico ha derivata covariante nulla. Questa connessione è detta connessione di Levi-Civita ed è quella abitualmente utilizzata per una varietà riemanniana o pseudo-riemanniana. I simboli di Christoffel che definiscono questa connessione sono ricavabili in una qualsiasi carta dalla relazione seguente:

\Gamma_{jk}^i=\frac12 g^{il} \left(
        \frac{\partial}{\partial x^k} g_{lj}
        +\frac{\partial}{\partial x^j} g_{lk}
        -\frac{\partial}{\partial x^l} g_{jk}
        \right).

Nella relazione sono presenti il tensore metrico e le sue derivate parziali rispetto alle coordinate fissate dalla carta (le derivate parziali non coincidono con la derivata covariante del tensore metrico, che è nulla).

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Derivata covariante di un campo tensoriale[modifica | modifica sorgente]

La derivata covariante di un campo vettoriale v può essere calcolata in una carta facendo uso dei simboli di Christoffel nel modo seguente:


\nabla_j v^i=\frac{\partial v^i}{\partial x^j}+\Gamma^i_{jk}v^k.

Analogamente, la derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (0,1) è data da:


\nabla_j v_i=\frac{\partial v_i}{\partial x^j}-\Gamma^k_{ij} v_k

La derivata covariante di un campo tensoriale di tipo (2,0) è data da:


\nabla_k v^{ij}=\frac{\partial v^{ij}}{\partial x^k} +\Gamma^i_{k\ell}v^{\ell j}+\Gamma^j_{k\ell}v^{i\ell}

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione). ISBN 0471157333.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica