Sezione d'urto

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La sezione d'urto (in inglese cross section) è una quantità adoperata per descrivere un processo d'interazione tra particelle, come la diffusione o l'assorbimento, quantificando la probabilità che uno stato iniziale di particella risulti trasformato, a seguito dell'evento d'interazione, in un nuovo stato. Ha le dimensioni di un'area, ed è abitualmente misurata in barn (1 \mathrm{b} = 10^{-24} \mathrm{cm}^{2}) o suoi sottomultipli.

La sezione d'urto, indicata spesso con \sigma, è una grandezza intrinseca del singolo processo, ma si può pensare, come analogia, in termini classici come l'area misurata attorno ad una particella bersaglio all'interno della quale la presenza di una seconda particella genera fenomeni di interazione tra i due corpi.

La maggior parte degli esperimenti in fisica nucleare avvengono per bombardamento di un bersaglio fisso (o targhetta, anglismo dall'inglese target) tramite un fascio di particelle proiettili. I dati sulla diffusione dei proiettili permettono di risalire alla forma del bersaglio, del proiettile e al tipo di interazione presente tra le particelle. Una misura di queste forme avviene grazie allo studio della sezione d'urto, che esprime la probabilità che il processo di scattering si riscontri ad una fissata energia del fascio di particelle incidente.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Si consideri un fascio di N_0 particelle, il cui flusso è dato da:

\Phi = \frac {N_0}{\Delta S \Delta t} = \frac {N_0 \Delta x}{\Delta S \Delta t \Delta x} = \frac {N_0 v}{V} = n_i v

dove \Delta S è l'area della superficie del bersaglio, \Delta t l'intervallo di tempo considerato, V il volume, v la velocità e n_i la densità volumica di particelle.

Si consideri poi un bersaglio di spessore \Delta x e composto da N_b particelle, delle quali

\frac {N_b} {\Delta S} = \frac {N_b \Delta x}{V} = n_b \Delta x

sono quelle investite dal fascio per unità di superficie, dove n_b è la densità volumica di particelle del bersaglio.

La sezione d'urto è la quantità \sigma definita dalla relazione

n_b \sigma \Delta x = - \frac {\Delta \Phi}{\Phi}

dove \Delta \Phi è la variazione del flusso dopo essersi scontrato con il bersaglio, anche chiamata "attenuazione".

L'unità di misura della sezione d'urto è il barn, mentre nelle unità naturali (ovvero con c = \hbar = 1) si misura in [eV^{-2}].

La legge che descrive la variazione del flusso è

\Phi (x) = \Phi_0 e^{-n_b \sigma x}

ed è inoltre possibile definire il coefficiente di assorbimento

\mu = \sigma_{r} \cdot n_{b}

e la lunghezza di attenuazione

\lambda = \frac {1}{\mu}

Se si considerano le interazioni tra le particelle del fascio con il bersaglio, si ha la relazione:

\frac {\operatorname{d} n}{\operatorname{d} t} = I_0 n_T \frac {\sigma}{S}

dove dn/dt è il numero di interazioni al secondo, I_0 il numero di particelle incidenti per secondo, n_T il numero di particelle del bersaglio e S la sezione del fascio.

Tale relazione si può scrivere introducendo la densità \rho_T del bersaglio:

\frac {\operatorname{d} n}{\operatorname{d} t} = I_0 \rho_T \sigma \operatorname{d} z

si ottiene che il numero di interazioni è:

\operatorname{d} n = \rho_T \sigma \operatorname{d} z I_0 \operatorname{d} t = \rho_T \sigma \operatorname{d} z N_0

dove N_0 è l'integrale nel tempo dell'intensità del fascio, e rappresenta il numero totale di particelle del fascio.

Sezione d'urto differenziale[modifica | modifica wikitesto]

Si supponga che le particelle deviate dal bersaglio vengano rivelate in un angolo solido (sotteso da una corona sferica di larghezza infinitesimale):

\operatorname{d}\Omega = 2 \pi \sin \theta \operatorname{d}\theta

Le particelle diffuse nell'unità di tempo nell'angolo solido sono

\operatorname{d}\dot{N_f} = \dot{N_f}\operatorname{d}\Omega = \Phi N_b \operatorname{d}\sigma

dove l'indice f indica lo stato finale. La sezione d'urto differenziale è data da

\frac {\operatorname{d}\sigma}{\operatorname{d}\Omega} = \frac {\dot{N_f}}{\Phi N_b}

Che è il rapporto tra il numero di particelle diffuse nell'unità di tempo e la luminosità

\operatorname{L} = \Phi N_b

Lo stato finale è caratterizzato da diverse variabili; se per esempio si conosce l'impulso delle particelle del fascio incidente nello stato finale, la sezione d'urto sarà data dall'integrale sull'intervallo delle variabili nello stato finale, cioè

\sigma = \int_f \frac {\operatorname {d}\sigma}{\operatorname {d}p}\operatorname {d}p'

Nel paragrafo precedente si è visto che

 \operatorname {d}n (\theta) = N_0 \rho_T \operatorname {d}z \operatorname {d} \sigma

Tale relazione si può scrivere:

 \operatorname {d}n (\theta) \operatorname {d} \Omega = N_0 \rho_T \operatorname {d}z \operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega

che, considerando un solo nucleo ed introducendo la densità del fascio n_0=N/S, diventa:

 \operatorname {d}n (\theta) = n_0 \frac{\operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega}{\operatorname {d} \Omega}

Dal momento che le particelle deflesse ad un angolo \theta entro l'angolo solido d \Omega sono quelle che attraversano l’anello

\operatorname {d}S = 2 \pi b \operatorname {d}b

si ha che:

 \operatorname {d}n (\theta) = n_0 \operatorname {d}S = n_0 \frac{\operatorname {d} \sigma \operatorname {d} \Omega}{\operatorname {d} \Omega}

utilizzando l'espressione esplicita dell'angolo solido si ottiene l'espressione per la sezione d'urto differenziale:

\frac{\operatorname {d} \sigma}{\operatorname {d} \Omega} = - \frac{b \operatorname {d} b}{\sin \theta \operatorname {d} \theta}

Probabilità di transizione[modifica | modifica wikitesto]

Un propagatore è una funzione matematica che consente di seguire l'evoluzione temporale di una particella che si muove all'interno di un campo. Per poter studiare processi di interazione tra particelle si fa, così, ricorso ad un particolare operatore, detto propagatore di Feynman, che consente di descrivere la così detta ampiezza di transizione:

w_{fi} = \frac {\left | S_{fi} \right |^2}{T}

dove Sfi è la matrice di Feynman (anche detta matrice S).

Con questa rapidità di transizione - che altro non è se non il rapporto tra la probabilità di transizione, ovvero il rapporto tra eventi favorevoli ed eventi possibili, e il tempo tipico della stessa, ovvero quanto tempo questa persiste - si può dare una nuova definizione di sezione d'urto:

\operatorname {d} \sigma = \frac {w_{fi}}{\left \| \vec J_{inc} \right \|} \operatorname {d} n_f

dove Jinc è il flusso incidente e dnf il numero di stati finali nel cono dΩ.

Flusso incidente[modifica | modifica wikitesto]

Il flusso incidente altro non è se non la densità delle particelle che si scontrano. Si possono definire due flussi differenti, a seconda del sistema di riferimento in cui si calcola tale flusso.

Nel sistema del laboratorio, ovvero il sistema in cui il bersaglio è fermo e i proiettili in moto, il flusso risulta:

\left \| \vec J_{inc} \right \| = j_p \rho_t

dove jp è la densità di flusso delle particelle proiettile e ρt la densità delle particelle bersaglio.

Vediamo un esempio: supponiamo che due particelle si scontrino una contro l'altra. Definita con vr la velocità relativa tra le particelle e con V il volume a disposizione delle stesse, la prima densità sarà pari al rapporto tra il modulo della velocità e il volume stesso, il cui inverso è anche pari alla densità del bersaglio. Di conseguenza:

\left \| \vec J_{inc} \right \| = \frac {\left \| \vec v_r \right \|}{V^2}

Questa espressione diventa anche il flusso incidente nel sistema del centro di massa o baricentro, ovvero il sistema in cui sia i proiettili sia il bersaglio sono in movimento, quando al posto della velocità relativa si inserisce la velocità calcolata in questo secondo sistema:

\left \| \vec v_{r(CM)} \right \| = \left ( \frac {\left \| \vec P_a \right \|}{E_a} + \frac {\left \| \vec P_b \right \|}{E_b} \right )

dove con P viene indicato l'impulso, e con E l'energia, mentre i pedici a e b consentono di distinguere tra i due fasci, che generalmente sono composti da particelle differenti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • J.D.Bjorken, S.D.Drell, Relativistic Quantum Mechanics, 1964
  • P.Roman, Introduction to Quantum Theory, 1969
  • W.Greiner, J.Reinhardt, Quantum Electrodinamics, 1994
  • R.G. Newton. Scattering Theory of Waves and Particles. McGraw Hill, 1966.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]