Serie di Volterra

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In matematica, lo sviluppo in serie di Volterra rappresenta un'espansione funzionale di un funzionale dinamico, non lineare e tempo-invariante, sviluppato insieme al teorema di Volterra, dal matematico Vito Volterra.

Formalizzazione[modifica | modifica sorgente]

Un sistema continuo tempo-invariante con ingresso x(t) ed uscita y(t) può essere espanso in serie di Volterra come: 
y(t) = k_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty k_n(s_1, s_2, \ldots, s_n) x(t - s_1) x(t - s_2) \cdots x(t - s_n) ds_1 ds_2 \cdots ds_n

kn è chiamato kernel di Volterra di n-mo ordine, e può essere visto come una generalizzazione della risposta impulsiva

Metodi per la stima dei nuclei di Volterra[modifica | modifica sorgente]

Stimare individualmente i coefficienti di Volterra è un'operazione complicata poiché le funzioni della base della serie di Volterra (cioè x^k, k=1,...,N) sono correlate. Ciò comporta il problema della risoluzione simultanea di un insieme di equazioni integrali per i coefficienti. Per questo motivo la stima dei coefficienti di Volterra è generalmente affrontata tramite la stima dei coefficienti di una serie ortogonalizzata, come ad esempio la serie di Wiener, e poi ricalcolando i coefficienti della serie di Volterra originaria. Altri metodi comunemente utilizzati sono il metodo di correlazione incrociata, l'algoritmo ortogonale esatto, la regressione lineare ed il campionamento differenziale.

Applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Si utilizza come modello per il comportamento non lineare analogo alla serie di Taylor, dalla quale differisce per la capacità di catturare l'effetto memoria. La serie di Taylor infatti approssima la risposta di un sistema non lineare per un dato input in un istante fissato di tempo; mentre la serie di Volterra approssima la risposta di un sistema non lineare che dipende da tutto l'andamento temporale dell'ingresso. Può quindi esser considerato una generalizzazione al caso non lineare dell'operatore di convoluzione.

Lo sviluppo in serie di Volterra è stato applicato nei campi della medicina (in ingegneria biomedica), della biologia (nelle neuroscienze), dell'ingegneria elettronica/delle telecomunicazioni (per la modellizzazione delle distorsioni da intermodulazione), e nei problemi di identificazione. La sua caratteristica fondamentale risiede nella sua generalità: proprio per la capacità di catturare effetto-memoria e non linearità, è in grado di rappresentare un'ampia gamma di sistemi.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems, Martin Schetzen (1980)
  • The Identification of Nonlinear Biological Systems: Volterra Kernel Approaches, Michael J. Korenberg, Ian W. Hunter, Annals Biomedical Engineering (1996), Volume 24, Number 2.
  • Bussgang, J.J.; Ehrman, L.; Graham, J.W., "Analysis of nonlinear systems with multiple inputs," Proceedings of the IEEE, vol. 62, no.8, pp. 1088–1119, Aug. 1974

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]