Serie di Bell

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In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica f e un numero primo p, si definisce come serie di Bell di f modulo p la serie formale di potenze f_p(x) espressa come

f_p(x) := \sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n .

Vale un teorema di unicità. Date due funzioni moltiplicative f e g, accade che f=g se e solo se

f_p(x)=g_p(x) per tutti i primi p.

Vale anche un teorema di moltiplicazione: Per ogni coppia di funzioni aritmetiche f e g, denotiamo con h=f*g la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo p si ha

h_p(x)=f_p(x) g_p(x) .

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se f è una funzione completamente moltiplicativa, allora

f_p(x)=\frac{1}{1-f(p)x} .

Esempi[modifica | modifica sorgente]

La seguente tabella presenta le funzioni aritmetiche più note, ciascuna seguita dalla sua serie di Bell.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).


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