Segmento iniziale

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In matematica si definisce segmento iniziale (o taglio iniziale, o sottoinsieme chiuso verso il basso) di un dato insieme totalmente ordinato (X, <) un qualsiasi suo sottoinsieme Y tale che:

b \in Y \Rightarrow \forall a \in X (a < b \Rightarrow a \in Y)

Il nome deriva abbastanza naturalmente dalla "forma" che un tale insieme ha: segmento perché non ha "buchi" - se a, b sono in Y, ogni elemento tra a e b sarà in Y - iniziale perché contiene gli elementi di X più piccoli.

Casi particolari di segmenti iniziali di un insieme X sono X stesso e l'insieme vuoto.

Simmetricamente, si definisce un segmento finale (o taglio finale, o sottoinsieme chiuso verso l'alto) mediante la proprietà

b \in Y \Rightarrow \forall a \in X (b < a \Rightarrow a \in Y)
Gli insiemi degli interi negativi e positivi sono rispettivamente un segmento iniziale e un segmento finale di \mathbb Z

Utilizzo e proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Il segmento iniziale è un oggetto matematico piuttosto utilizzato in alcuni settori della logica.

  • I tagli di Dedekind, tipicamente utilizzati per costruire i numeri reali, sono segmenti iniziali (e in realtà tutti i segmenti iniziali) di \mathbb{Q}.
  • I segmenti iniziali vengono utilizzati in varie dimostrazioni riguardanti i buoni ordini. Infatti:
    • in generale l'unione di ordini non è un ordine
    • l'unione di ordini che sono a due a due inclusi l'uno nell'altro è un ordine, ma se gli ordini sono buoni ordini, il risultato della loro unione non è necessariamente un buon ordine (basti pensare ai sottoinsiemi di \mathbb{Z} della forma [-n, n], ognuno dei quali è bene ordinato ma la cui unione è \mathbb{Z})
    • l'unione di buoni ordini che sono a due a due segmento iniziale l'uno dell'altro invece è un buon ordine


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