Risultante (polinomi)

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In matematica, il risultante di due polinomi P e Q, con coefficienti dei monomi di grado massimo p e q rispettivamente, è definito come il prodotto

\mathrm{res}(P,Q) = p^{\deg Q} q^{\deg P}\prod_{(x,y):\,P(x)=0,\, Q(y)=0} (x-y),

delle differenze tra le loro radici in una chiusura algebrica di k, considerate con le loro molteplicità come radici dei polinomi, e di opportune potenze dei coefficienti p e q.

Aspetti computazionali[modifica | modifica wikitesto]

  • Per un fissato polinomio P, il prodotto di sopra può essere riscritto come
\mathrm{res}(P,Q) = p^{\deg Q}\prod_{P(x)=0} Q(x),
e quindi dipende polinomialmente dai coefficienti di Q. Un altro modo per vedere ciò è di osservare che res(P,Q) dipende polinomialmente (con coefficienti interi) dalle radici di P e Q, ed è invariante per qualunque permutazione di tali radici.
  • L'espressione
\mathrm{res}(P,Q) = p^{\deg Q}\prod_{P(x)=0} Q(x)
non cambia se Q è ridotto modulo P.
  • Sia P' = P \mod Q. Allora l'idea di sopra può essere iterata scambiando i ruoli di P' e Q. Il risultante può pertanto essere calcolato tramite una variante dell'algoritmo di Euclide.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

  • Poiché il risultante è un polinomio a coefficienti interi nei coefficienti di P e Q, si ha che
    • Il risultante è ben definito per polinomi su qualunque anello commutativo.
    • Se h è un omomorfismo dell'anello dei coefficienti in un altro anello commutativo, che preserva i gradi di P e Q, allora il risultante dell'immagine tramite h di P e Q è l'immagine tramite h del risultante di P e Q.
  • Il risultante di due polinomi a coefficienti in un dominio di integrità è zero se e solo se hanno massimo comune divisore di grado positivo.

Applicazioni[modifica | modifica wikitesto]

  • Il discriminante di un polinomio è definito (a meno del segno) come il quoziente del risultante tra il polinomio e la sua derivata con il coefficiente del suo monomio di grado massimo.
  • I risultanti possono essere usati in geometria algebrica per determinate intersezioni. Ad esempio, siano
f(x,y)=0
e
g(x,y)=0
curve algebriche in \mathbb{A}^2_k. Se f e g sono visti come polinomi in x a coefficienti in k[y], allora il risultante di f e g è un polinomio in y le cui radici sono le coordinate y delle intersezioni tra le curve e degli asintoti comuni paralleli all'asse delle x.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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