Regola di quantizzazione di Dirac

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La regola di quantizzazione di Dirac consente di passare da una descrizione classica a una descrizione quantistica della fisica, attraverso un'operazione di riscrittura delle variabili in termini di operatori. In effetti, i postulati della meccanica quantistica affermano che, ad ogni grandezza osservabile, deve corrispondere un operatore lineare e autoaggiunto ma non danno una regola esplicita su come ottenere l'operatore giusto.

Una regola semplice e di ampia applicazione è quella formulata appunto da Paul Dirac e che oggi porta il suo nome.

Nel formalismo hamiltoniano della meccanica classica il sistema è descritto da una funzione H, detta funzione hamiltoniana tramite le equazioni di Hamilton. Questa funzione hamiltoniana può sempre essere scritta in funzione delle variabili (posizione) e (quantità di moto). Sostituendo a queste variabili i rispettivi operatori quantistici e si ottiene l'operatore hamiltoniano richiesto.

Rappresentazione degli operatori di posizione e di quantità di moto[modifica | modifica wikitesto]

La regola di quantizzazione di Dirac appena citata riconduce il problema di scrivere un qualsiasi operatore hamiltoniano quantistico al problema, assai più semplice, di rappresentare gli operatori di posizione e di impulso. In generale la base su cui rappresentare questi operatori è arbitraria e dipende solo da una scelta di convenienza, tuttavia la base delle posizioni (ovvero lo spazio euclideo che ci è familiare) è di gran lunga la più usata.

Rappresentazione dell'operatore di posizione[modifica | modifica wikitesto]

Scrivendo l'operatore di posizione sulla base dei suoi autovettori si ottiene una matrice diagonale con elementi (nel continuo) . Di conseguenza si può scrivere, usando la notazione bra-ket:

.

Rappresentazione dell'operatore di quantità di moto[modifica | modifica wikitesto]

Per scrivere la rappresentazione di questo operatore in maniera semplice si può usare il fatto che e quindi scrivere che:

ovvero che

.

È facile verificare che la soluzione di questa equazione è

.
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