Regola del rettangolo

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La regola del rettangolo o regola del punto medio, è il più semplice procedimento di integrazione numerica per approssimare un integrale definito nella forma : \int_{a}^{b} f(x)\,dx.

Tale formula approssima l'integrale (e quindi l'area sottesa dalla funzione) come un rettangolo di base b-a e di altezza f(c), dove a e b sono gli estremi di integrazione e c è il punto medio dell'intervallo, ottenendo un'espressione finale per l'integrale pari a: I_r=(b-a)f(c)=(b-a)f \left(\frac{a + b}{2} \right)

Formula composita[modifica | modifica wikitesto]

Illustrazione del metodo del punto medio composito

Per calcolare con più accuratezza l'integrale, si divide l'intervallo di integrazione [a, b] in M sottointervalli di ampiezza uniforme pari a  h=\frac{b-a}{M}

La formula del punto medio diventerà dunque I_r^c=h\sum_{k=1}^M f(\bar x_k), dove \bar x_k rappresenta il punto medio del k-esimo sottointervallo.

Analisi dell'errore[modifica | modifica wikitesto]

L'errore sviluppato con il metodo del rettangolo, assumerà la seguente espressione: \mathcal{E}=\int_{a}^{b} f(x)\,dx-I_r=\frac{(b-a)^3}{24}f''(\xi), dove \xi è un opportuno punto compreso nell'intervallo [a,b].

Nel caso si usi il metodo composito l'errore sarà \mathcal{E}=h^2\frac{b-a}{24}f''(\xi). Dalla formula dell'errore si deduce che il metodo integra esattamente polinomi di primo grado, e che l'errore diminuisce quadraticamente rispetto all'ampiezza dei sottointervalli h.

Implementazione su calcolatore[modifica | modifica wikitesto]

In MATLAB la formula del rettangolo composita può essere implementata come segue:


function I = Ret_c(a,b,M,f)
 
%Dati a e b, estremi di integrazione,M numero di sottintervalli
%f funzione integranda, restituisce il valore dell'integrale approssimato
 
h=(b-a)/M;
 
x=(a+h)/2:h:(b-h)/2; 
 
I=h*sum(f(x));

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Alfio Quarteroni, Fausto Saleri, Calcolo Scientifico, Milano, Springer, 2008.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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