Vincolo

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Un vincolo è qualsiasi condizione che limita il moto di un corpo. In Meccanica, essendo solo le forze capaci di modificare lo stato di quiete o di moto di un sistema, l'azione dei vincoli si esplica attraverso un insieme di forze dette forze vincolari o reazioni vincolari che agiscono sui punti del sistema, limitandone il moto.

[modifica] Tipi di vincolo

La presenza di vincoli si traduce in relazioni funzionali tra le coordinate (non necessariamente le coordinate cartesiane) che descrivono il moto del sistema.

A seconda del tipo di legame delle coordinate i vincoli si distinguono in:

vincoli olonomi o bilateri: qualora la relazione funzionale è del tipo $f(\vec r_1, \vec r_2, ..., \vec r_n, t) = 0$ , ossia il vincolo dipende dalla posizione ed, eventualmente, dal tempo, se dipende da velocità che, tramite integrali, possono essere ricondotte alle posizioni il vincolo si dice integrabile;

vincoli anolonomi: tutti quelli che non soddisfano una relazione funzionale del tipo sopra.

vincoli unilateri qualora la relazione funzionale è del tipo $f(\vec r_1, \vec r_2, ..., \vec r_n, t) \le 0$ oppure vale la disuguaglianza opposta;

A seconda della dipendenza dal tempo i vincoli si distinguono in:

vincoli scleronomi o fissi se non dipendono dal tempo;

vincoli reonomi o mobili se dipendono dal tempo.

A seconda della reazione vincolare che producono:

vincoli lisci se la reazione vincolare è sempre diretta lungo la direzione della componente cinematica vincolata;

vincoli scabri se la reazione vincolare ha anche componenti lungo direzioni delle componenti cinematiche non vincolate.

In meccanica razionale i vincoli sono descritti da relazioni funzionali che legano le coordinate $\vec x$ del sistema meccanico.

[modifica] Sistemi vincolati

Un sistema vincolato è un sistema meccanico soggetto a vincoli cinematici. Le condizione di vincolo si rappresentano attraverso relazioni funzionali che possono essere interpretate in senso geometrico. Nel caso di un sistema meccanico costituito da N punti materiali, un sistema di m vincoli olonomi e bilateri ha la seguente rappresentazione

$f_1(\vec x) = 0, \dots , \vec f_m(\vec x) = 0$

Questa è interpretabile geometricamente come la rappresentazione matematica di una superficie in forma implicita immersa nello spazio 3N-dimensionale delle coordinate del sistema

$\vec x = (x_1,y_1,z_1, \dots \, x_N, y_N, z_N) \in \mathbb{R}^{3N}$

Tale superficie ha dimensione $n = 3 N - m$ , ed n è il numero dei gradi di libertà del sistema. La superficie stessa viene detta spazio delle configurazioni del sistema.

Un sistema con n gradi di libertà ha n coordinate indipendenti che, nel formalismo lagrangiano, rappresentano le $n = 3 N - r$ coordinate generalizzate del sistema.

Per approfondire, vedi le voci Coordinate generalizzate e Sistemi vincolati.

[modifica] Esempi di vincolo

Una particella vincolata a muoversi su una retta, le sue coordinate x e y (per esempio cartesiane) saranno legate da una relazione del tipo: $y = m x + p$ . Vincolo tipicamente olonomo.
Una particella vincolata a muoversi su una superficie dello spazio: $f (x, y, z) = 0$ .
Una particella che può muoversi nello spazio al di sopra un piano è un tipo di vincolo unilatero rappresentato da un'ovvia disuguaglianza.