Principi della dinamica

Le prime due leggi dei Principia Mathematicae di Isaac Newton

I principi della dinamica sono la base della meccanica, branca della fisica che studia e descrive le relazioni tra il movimento di un corpo e gli enti che lo modificano. All'interno della formalizzazione logico-matematica della meccanica newtoniana essi svolgono il ruolo di assiomi. Tali principi vengono anche detti Principi di Newton, dal nome dello scienziato che li ha proposti nel celebre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, pubblicato nel 1687. Gli enunciati che oggi si utilizzano sono una riformulazione di quelli scritti nei Principia; volerli attribuire in breve a Newton è improprio. Si noti inoltre che le attuali formulazioni differiscono spesso l'una dall'altra in alcuni dettagli, non del tutto inessenziali.

Ai principi di Newton si affianca, nella meccanica classica, il principio di relatività di Galileo che stabilisce l'invarianza dei principi di Newton sotto taluni cambiamenti di coordinate, dette appunto trasformazioni galileiane. È molto importante tenere presente che i principi della dinamica sono validi in sistemi di riferimento inerziali e per sistemi i cui componenti siano a velocità molto minori di quella della luce.

• I principi non valgono in sistemi di riferimento non inerziali. Per studiare anche questi ultimi, infatti, è stata necessaria l'introduzione di forze apparenti, quali la forza centrifuga e la forza di Coriolis dovute alle accelerazioni del sistema di riferimento.
• La meccanica classica è inclusa nella teoria della relatività ristretta: entrambe sono valide in sistemi di riferimento inerziali; la prima si può considerare un'approssimazione della seconda per velocità basse rispetto alla velocità della luce).

Primo principio detto d'inerzia o di Aristotele

Si parla di principio e non di legge né di assioma perché esso è un'affermazione filosofica, di natura essenzialmente metafisica, perciò non dimostrabile, né falsificabile: una richiesta arbitraria che definisce la base concettuale attraverso cui la fisica classica descrive e, sperabilmente, spiega il mondo, almeno per quanto riguarda la meccanica, cioè per quanto riguarda il movimento.

Aristotele nella sua “Fisica” del IV secolo a.C. asseriva che lo stato naturale dei corpi è la quiete, ossia l'assenza di moto, e che qualsiasi oggetto in movimento tende a rallentare fino a fermarsi, a meno che non venga spinto a continuare il suo movimento. Nel Medioevo, Guglielmo di Ockham e poi, nel Quattrocento, il Cusano, nell'opera "Il gioco della palla", e Leonardo da Vinci ripensarono la dinamica aristotelica: non ne dimostrarono l'infondatezza (anche perché nessuno, filosoficamente parlando in maniera corretta potrebbe farlo), ma cominciarono a sviluppare una diversa meccanica, fondata su diversi principi filosofici. Il principio di inerzia non è di banale osservazione sulla Terra, dominata dagli attriti, anzi, nella realtà è letteralmente impossibile: consideriamo per esempio una biglia (assimilabile nella nostra trattazione ad un punto materiale) che rotola su una superficie piana orizzontale molto estesa. La nostra esperienza ci dice che con il passare del tempo la biglia rallenta fino a fermarsi; questo è dovuto al fatto che interagisce con il piano e con l'aria. Si può osservare, comunque, che facendo diminuire progressivamente questi attriti (rarefacendo l'aria e lisciando il piano per diverse volte) la biglia percorre sempre più strada prima di fermarsi. L'idea che sta alla base del primo principio è che (generalizzando e) facendo diminuire gli attriti fino a renderli nulli (in teoria), il corpo non rallenti e quindi non si fermi mai, cioè persista nel suo stato di moto rettilineo uniforme.
Riferendosi invece alla tendenza di ogni corpo a mantenere lo stato di quiete o di moto si usa parlare di inerzia.

Ma solo dopo quasi 2000 anni Galileo Galilei (1564-1642) capovolse il punto di vista di Aristotele con un esperimento ideale, immaginando il caso limite di un corpo che si muove su un piano orizzontale senza attriti. Un tale esperimento, come aveva ben compreso il grande scienziato pisano, non è riproducibile sulla Terra, ove è impossibile eliminare completamente tutti gli attriti. In realtà l'effetto degli attriti su un corpo in movimento è quello di trasformare l'energia cinetica in energia termica (calore); ciò avviene sempre nell'assoluto rispetto di un altro importantissimo principio: il principio di conservazione dell'energia. Ciò viene dettagliatamente descritto in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo e Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica e i movimenti locali Scrive Galileo nel Dialogo: “il mobile durasse a muoversi tanto quanto durasse la lunghezza di quella superficie, né erta né china; se tale spazio fusse interminato, il moto in esso sarebbe parimenti senza termine, cioè perpetuo”. Ma questo, scrive ancora Galileo: “deve intendersi in assenza di tutti gli impedimenti esterni e accidentari” … e che gli oggetti in movimento siano: “immuni da ogni resistenza esterna: il che essendo forse impossibile trovare nella materia, non si meravigli taluno, che faccia prove del genere, se rimanga deluso dall'esperienza”. La sua prima enunciazione formale è tuttavia di Isaac Newton (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), che pur ne riconosce la paternità galileiana: “Lex prima: Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.”. Newton chiarisce inoltre il concetto nella definizione 3:

« La vis insita, o forza innata della materia, è il potere di resistere attraverso il quale ogni corpo, in qualunque condizione si trovi, si sforza di perseverare nel suo stato corrente, sia esso di quiete o di moto lungo una linea retta. Questa forza è proporzionale alla forza che si esercita sul corpo stesso e non differisce affatto dall'inattività della massa, ma nella nostra maniera di concepirla. Un corpo, dall'inattività della materia, è tolto non senza difficoltà dal suo stato di moto o quiete. Dato ciò questa vis insita potrebbe essere chiamata in modo più significativo vis inertiae, o forza di inattività. Ma un corpo esercita questa forza solo quando un'altra forza, impressa su di esso, cerca di cambiare la sua condizione [di moto o di quiete, NdT]; e l'esercizio di questa forza può essere considerato sia resistenza che impulso; è resistenza quando il corpo, cercando di mantenere il suo stato attuale, si oppone alla forza impressa; è impulso quando il corpo, non dando libero corso alla forza impressa da un altro cerca di cambiare lo stato di quest'ultimo. La resistenza è solitamente ascritta ai corpi in quiete e l'impulso a quelli in moto; ma moto e quiete, come vengono intesi comunemente, sono solo relativamente distinti; e d'altronde, quei corpi che comunemente sono considerati in quiete non lo sono sempre realmente. » (Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)

In sintesi:

• Se la forza totale applicata a un punto materiale in stato di quiete è uguale a zero, allora esso resterà inerte.
• Se la forza totale applicata a un punto materiale in stato di movimento è uguale a zero, allora esso continuerà a muoversi di moto rettilineo uniforme.

allora se un corpo è fermo o si muove di moto rettilineo uniforme, vuol dire che non è soggetto a forze oppure che la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla. Il principio di inerzia vale nei cosiddetti sistemi di riferimento inerziali, definiti in realtà come l'ambito di validità del Principio di azione-reazione.

Infine va detto che il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo, ma ne chiarisce l'ambito di validità, ovvero i sistemi inerziali, in cui operano esclusivamente forze reali (azione o interazione tra due corpi). I principi, in questa formulazione non valgono nei sistemi accelerati (non inerziali) come i sistemi rotanti, perché in questi entrano in gioco forze apparenti (ad esempio la forza centrifuga).

Secondo principio detto di proporzionalità o di Newton o di conservazione

Per approfondire, vedi legge di conservazione della quantità di moto.

In ogni istante l'accelerazione di un corpo è determinata dalla forza non equilibrata che agisce su di esso: l'accelerazione ha la stessa direzione e lo stesso verso della forza, il suo modulo è proporzionale alla forza e inversamente proporzionale alla massa del corpo. Ovvero, un punto materiale (cioè un corpo di dimensioni trascurabili rispetto al sistema di riferimento in esame e contemporaneamente dotato di massa) al quale sia applicata una forza, varia la quantità di moto in misura proporzionale alla forza e lungo la direzione della stessa. In altre parole, secondo una formulazione analoga a quella di Eulero: il tasso di aumento della quantità di moto è uguale e parallelo alla forza impressa:

$\mathbf{F}=\dot \mathbf{q}$,

cioè in base alla definizione di quantità di moto e di accelerazione e alla regola di Leibniz:

$\mathbf{F}=\dot m \mathbf v + m \mathbf a$

Per un sistema chiuso quindi il rapporto fra i moduli della forza applicata e dell’accelerazione è costante e pari alla massa inerziale:

$\dot m =0 \, \Rightarrow \, \mathbf{F} = m \mathbf{a}$

Nel sistema internazionale l'unità di misura della forza è il N; nel sistema CGS l'unità di misura è il dyn = 10⁻⁵ N.

Il secondo principio della dinamica fornisce una spiegazione per il fatto che tutti i corpi cadono con una velocità, che è indipendente dalla loro massa. Simile risultato fu raggiunto da Galileo Galilei con lo studio del piano inclinato e l'esperimento della caduta dei gravi.

Nel 1981 Milgrom propose una sua modifica volta a spiegare il problema delle curve di rotazione delle galassie a spirale in modo alternativo all'introduzione della materia oscura, denominata MOND dall'acronimo inglese per Dinamica Newtoniana Modificata che teneva conto dello strappo, che però gode di scarso consenso presso la comunità scientifica attuale, anche se i più le riconoscono almeno il merito di essere più falsificabile delle teorie a base di materia ed energia oscura.

Terzo principio detto di azione e reazione

Newton enunciava il principio in un modo lievemente diverso da quello odierno, da cui deriva il suo nome: "Ad ogni forza agente $\mathbf{F}_{i \rightarrow j}$ prodotta su un corpo i corrisponde sempre in un sistema inerziale una forza detta forza reagente su un altro corpo j uguale e contraria $\mathbf{F}_{j \rightarrow i}$ e tale che la loro coppia sia nulla". In termini matematici:

• $\mathbf{F}_{j \rightarrow i} = - \mathbf{F}_{i \rightarrow j}$
• $\mathbf{F}_{i \rightarrow j} \times \mathbf r + \mathbf{F}_{j \rightarrow i} \times \mathbf r = 0 \quad \forall \mathbf r$

È da notare comunque che se il corpo i esercita una forza su j, la forza che j esercita su i è "contemporanea"; questa è la fondamentale differenza rispetto all'uso di reazione in ambito storico.

Un esempio chiaro è l'applicazione al sistema Terra-Luna $TL$, di cui sono sottosistemi la Terra T e la Luna L. La forza totale esercitata dalla Terra sulla Luna deve essere uguale ma di senso opposto alla forza totale esercitata dalla Luna sulla Terra: ciò viene effettivamente confermato dalla legge di gravitazione universale.

• Ciò permette di familiarizzare col concetto di forza: essa è una informazione sul grado di interazione tra due corpi, lorda per comprenderne il moto, che viene invece influenzato direttamente (principio di proporzionalità) dall'accelerazione, che può essere intesa come una misura netta della modificazione dello stato inerziale.
• Un esempio tipico che si può fare di applicazione controintuitiva del principio, è quello della semplice camminata: nella situazione noi imprimiamo forza al suolo all'indietro tramite il piede, il suolo reagisce con una forza uguale e contraria che poi è quella che ci spinge in avanti. Ma il suolo invece sembra non subire alcuna forza, poiché non accelera: la contraddizione si risolve considerando che la massa inerziale della Terra è enorme in confronto a quella dell'individuo, e perciò la forza si traduce in un'accelerazione piccola al punto da essere inosservabile.

Per generalizzare massimamente in meccanica classica la legge, allargandola ai sistemi non inerziali ed estesi, il concetto di azione viene oggi invece ristretto alle sole forze e momenti meccanici (Lagrangianamente si parla di forze generalizzate) per cui vale questo principio, cioè che implicano la reazione; infine per la simmetria tra i due concetti che scaturisce da questo principio (come evidenziato negli esempi precedenti) si preferisce oggi parlare di interazione: "l'interazione tra i corpi è reciproca, e unica sorgente di forza reale e momento meccanico reale": una forza generalizzata applicata su i è reale, se dovuta all'influenza di un qualsiasi altro corpo j, e solo allora si manifesta su j con orientazione antiparallela". Ricordiamo che un sistema inerziale è definito proprio in base a questo principio come sistema di riferimento in cui si manifestano solo interazioni tra i corpi, ovvero forze reali, e le forze apparenti sono appunto quelle che non provenendo dai corpi in quanto non reciproche, vengono imputate al sistema di riferimento, e non sono reali solo nel senso che non sono assolute, e non nel senso di ininfluenti sui corpi quando presenti. In termini matematici:

• Sia $S$ un sistema meccanico composto dai punti $x\in\mathbb{R}^3$ che interagiscono coll'ambiente attraverso forze e momenti.
• Sia $K$ un sub-sistema di $S$
• Sia $H$ un sub-sistema di $K$ e $H'$ il suo complementare ( $\Leftrightarrow H' = K \setminus H$ ).

Allora vale:

$\int_{H} d\vec{F}_i \ = \ -\int_{H'} d\vec{F'}_i ,$

$\int_{H} \vec{\xi} \times d\vec{F}_i + d\vec{M}_i \ = \ -\int_{H'} \vec{\xi} \times d\vec{F'}_i + d\vec{M'}_i$

dove:

$d\vec{F}_i(x)$ e $d\vec{M}_i(x)$ significano in questo contesto la distribuzione di forze e di momenti interni a $K$ che descrivono l'influenza di $H'$ su $H$.

$d\vec{F'}_i(x)$ e $d\vec{M'}_i(x)$ sono le distribuzioni di forze e di momenti interni a $K$ che descrivono l'influenza di $H$ su $H'$.

$\vec{\xi} \times d\vec{F}_i(x)$ sono invece i momenti indotti.

Questo tipo di ragionamenti stanno alla base dei metodi per la rivelazione delle azioni interne ai corpi di cui si occupa la meccanica del continuo, e vengono quindi ampiamente utilizzati in statica delle strutture ad esempio per il calcolo delle deformazioni.

Va detto infine che ai fini della ricerca delle equazioni del moto viene oggi utilizzato indirettamente sotto la forma di Principio di conservazione della quantità di moto, equivalente in meccanica classica, ma dimostrato essere più generale dall'Elettromagnetismo. Perciò nella fisica moderna esso sopravvive soltanto sotto questa rienunciazione.

La fisica di Berkeley

Il testo La fisica di Berkeley riporta come principi fondanti la meccanica classica le seguenti (cit.):

1. Lo spazio è Euclideo
2. Lo spazio è isotropo, ovvero le proprietà fisiche sono le stesse in tutte le direzioni (...)
3. Le leggi del moto di Newton valgono in un sistema inerziale determinato, per un osservatore fermo sulla terra, unicamente tenendo conto dell'accelerazione della terra nel suo moto intorno al proprio asse e della sua orbita intorno al sole.
4. È valida la legge della gravitazione universale di Newton. Questa legge stabilisce che tra due qualsiasi masse puntiformi poste a distanza $R$ l'una dall'altra, si esercita sempre una forza attrattiva $F =G \frac{M_1 M_2}{R^2}$ dove $G$ è una costante

Citando sempre dallo stesso libro, le 3 leggi di Newton sono così formulate:

1. Prima legge di Newton. Un corpo non soggetto a forze esterne, o tale che la risultante delle forze esterne agenti su di esso è pari a zero, permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme (accelerazione nulla), cioè, $\mathbf{a} = 0$ quando $\mathbf{F} = 0$.
2. Seconda legge di Newton. La risultante delle forze applicate su un corpo è uguale in modulo al prodotto della massa del corpo per l'accelerazione: $\mathbf{F} = m \mathbf{a}$, ed ha direzione e verso dell'accelerazione.
3. Terza legge di Newton. Quando due corpi interagiscono, la forza $\mathbf{F}_{i \rightarrow j}$, che il primo corpo (i) esercita sul secondo (j) è uguale e opposta alla forza $\mathbf{F}_{j \rightarrow i}$ che il secondo (j) esercita sul primo (i).

Da quest'ultimo principio, integrando rispetto al tempo, discende il principio della conservazione della quantità di moto e viceversa.

La fisica di Feynman

La fisica di Feynman ha una impostazione sui generis che non consente di estrarre agevolmente un corpus di principi della dinamica espressi in maniera formale, poiché ha l'intento di costruire una visione unitaria della fisica, "filtrandola" col criterio della validità nella moderna teoria dei campi per non introdurre come invece si fa solitamente con l'approccio storico dei concetti che risultano in una teoria più ampia falsificati o particolari. Tuttavia riportiamo alcuni brani che a nostro avviso sono quanto più si avvicina ad una formulazione di tali principi. Citiamo quindi:

« Galileo fece un gran progresso nella comprensione del moto quando scoprì il principio di inerzia: se un oggetto è lasciato solo, se non è disturbato, continua a muoversi con velocità costante in linea retta se era originariamente in movimento, o continua a stare in quiete se era del tutto immobile. »

« Qui discutiamo (...) la Seconda Legge, la quale asserisce che il moto di un oggetto è cambiato dalle forze in questo modo: la rapidità temporale della variazione di una quantità chiamata quantità di moto è proporzionale alla forza. (...) Ora la quantità di moto di un oggetto è il prodotto di due parti: la sua massa e la sua velocità. Così la Seconda Legge di Newton può essere scritta matematicamente in questo modo: $F = \frac{d}{dt} (mv)$. »

Per quanto riguarda il terzo principio della dinamica, Feynman lo considera, al pari della legge di gravitazione universale, una delle due sole cose sulla natura delle forze che Newton disse:

« Newton disse soltanto due cose sulla natura delle forze. (...) Tutta la conoscenza di Newton sulla natura delle forze è dunque racchiusa nelle leggi di gravitazione ed in questo principio. Il principio è che la reazione è uguale all'azione. »

Secondo Feynman, Newton caratterizzò il concetto di forza tramite l'enunciazione di un principio generale (il terzo principio della dinamica, appunto) e tramite la formulazione di una legge di forza particolare (quella gravitazionale).

Bibliografia

• Charles Kittel e altri, La fisica di Berkeley 1 Meccanica. Bologna, Zanichelli, 1970.
• Richard Feynman, La fisica di Feynman. Bologna, Zanichelli, 2001.
• C. Mencuccini, V. Silvestrini, Fisica 1. Napoli, Liguori Editore, 2006.
• The Penguin Dictionary of Physics - "Newton's laws of motion" (in inglese), Londra, Penguin, 2009.

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