Rapidità (relatività ristretta)

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Nella teoria della relatività ristretta, la rapidità (da non confondere con la pseudorapidità) è una grandezza introdotta per poter scrivere le trasformazioni di Lorentz in maniera coincisa. Questa grandezza \vec \zeta è definita come:

\zeta_i= \frac{1}{2} \ln \left(\displaystyle \frac{1+\beta_i}{1-\beta_i} \right)

tale che  \beta = \tanh \zeta , con  \beta_i = \frac{v_i}{c}

Uso[modifica | modifica wikitesto]

Definendo come di consuetudine:

 \gamma = (1 - \beta^2)^{-\frac{1}{2}}

un boost di Lorentz lungo la direzione  x_1

\left\{ \begin{array}{l}
x_0^{\prime}=\gamma\left(x_0-\beta x_1\right)\\
x_1^{\prime}=\gamma\left(x_1-\beta x_0\right)\\
x_2^{\prime}=x_2\\
x_3^{\prime}=x_3 \\
\end{array} \right.

usando le relazioni \gamma=\cosh(\zeta_1) e \gamma\beta=\sinh(\zeta_1) può essere scritto come:

\left\{ \begin{array}{l}
x_0^{\prime}=x_0 \cosh{\zeta_1} - x_1 \sinh{\zeta_1} \\
x_1^{\prime}=-x_0 \sinh{\zeta_1} + x_1 \cosh{\zeta_1} \\
x_2^{\prime}=x_2 \\
x_3^{\prime}=x_3 
\end{array} \right.

che è l'espressione di una rotazione immaginaria. La più generale trasformazione di Lorentz, esprimibile tramite la matrice \Lambda, prende la forma

\Lambda = e^{-\vec \zeta \cdot \vec K - \vec \omega \cdot \vec S}

dove

 \vec S = (S_1,S_2,S_3) e \vec K = (K_1,K_2,K_3).

Le coordinate di \vec S e  \vec K sono i generatori del gruppo di Poincaré.


S_1 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & 1 & 0 
\end{array} \right) \quad S_2 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 
\end{array} \right) \quad S_3 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right)
K_1 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right) \quad K_2 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right) \quad K_3 = \left( \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 
\end{array} \right)

e generano rispettivamente le rotazioni attorno ai tre assi cartesiani, e i boost di Lorentz lungo tali assi. Il restante parametro  \vec \omega ha come coordinate gli angoli di rotazione attorno ai tre assi spaziali.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Un'ultima considerazione riguarda le rapidità di particelle viste in diversi sistemi di riferimento. Se prendiamo in considerazione come parametri per la descrizione del sistema l'impulso e la rapidità della particella si ha:

\tilde{\zeta_i} = \zeta_i - Z

dove se indichiamo con \tilde k un altro sistema di riferimento, con k_i il sistema di riferimento solidale alla i-esima particella, e se indichiamo con una freccia una particolare trasformazione di Lorentz abbiamo:

k \stackrel{\zeta_i}{\rightarrow} k_i \stackrel{\tilde{\zeta_i}}{\leftarrow} \tilde k

e la Z è la rapidità della trasformazione da k a \tilde k. Dimostriamolo. Intanto assegniamo al sistema \tilde k i parametri \vec B e \Gamma che ne definiscono il moto rispetto a k.

\ln \left( \frac{p_0 + p_z}{p_0 - p_z} \right) = 2\zeta \qquad \quad \ln \left( \frac{\tilde p_0 +\tilde p_z}{\tilde p_0 -\tilde 
p_z} \right) = 2\tilde{\zeta}
2(\tilde \zeta - \zeta) = \ln \left[ \frac{(\tilde p_0 + \tilde p_z) (p_0 - p_z)}{(\tilde p_0 - \tilde p_z) ( p_0 + p_z)}\right]
\begin{array}{l} 
\tilde p_0 = \Gamma(p_0 - Bp_z) \\
\tilde p_z = \Gamma(p_z - Bp_0)\end{array} \qquad \mbox{ con } \Gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - B^2}}
\tilde p_0 + \tilde p_z = \Gamma(p_0 + p_z)(1 - B) \quad \mbox{ e } \quad \tilde p_0 - \tilde p_z = \Gamma(p_0 - p_z)(1 + B)

quindi

2(\tilde \zeta - \zeta) = \ln \left( \frac{1 - B}{1 + B} \right) = \ln\left(\frac{\cosh Z - \sinh Z}{\sinh Z + \cosh Z}\right) = \ln \left(\frac{e^{-Z} + e^{-Z}}{e^Z + e^Z}\right) = \ln e^{-2Z} = -2Z

La comodità di utilizzare come parametri \vec p e \zeta è quella per cui in due diversi sistemi di riferimento le rapidità delle particelle risultano traslate di un valore fisso Z che rappresenta la rapidità della trasformazione di Lorentz che collega i due sistemi di riferimento.


Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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