Radice numerica

In matematica, la radice numerica (o digitale, dall'inglese digital root) di un numero è il risultato della somma delle sue cifre, reiterata fino ad ottenere un valore monocifra, quindi compreso fra 0 e 9 (in base 10).

Normalmente la radice ha quindi senso soltanto per i numeri interi ed esprime a sua volta un numero intero; risulta anche che la radice digitale è diversa a seconda dalla base utilizzata e che non può essere considerata ingenuamente una somma fino ad ottenere un valore di una sola cifra, in quanto questa definizione diventerebbe erronea se applica a numeri espressi in basi superiori alla 10 se non vengono opportunamente usati altri segni unici identificabili come cifre aggiuntive a quelle comunemente usate.

La radice digitale di un intero n si ottiene con un processo costituito da successivi passi riduttivi ciascuno dei quali consiste nel ricavare da un intero la somma delle sue cifre nella scrittura in base b.

Facciamo alcuni esempi limitandoci alla base 10 e quindi alle notazioni decimali

La radice digitale di 456 è uguale alla radice digitale di 4+5+6 = 15, cioè è uguale a 1+5 = 6.

Per la radice digitale dell'intero 65.536 si passa attraverso 6+5+5+3+6 = 25 per arrivare a 2+5 = 7.

Naturalmente la radice digitale di un intero inferiore a b coincide con l'intero stesso.

La radice digitale in una determinata base è quindi una funzione suriettiva dell'insieme degli interi positivi sull'insieme {0, 2, ..., b-1}.

Per la base 10, ad esempio, si osserva facilmente che la successione delle radici digitali corrispondente alla successione degli interi vede la sequenza degli interi da 1 a 9 ripetersi illimitatamente (con periodicità 9, naturalmente). Da questo segue che il calcolo delle radici digitali viene in genere molto sveltito da considerazioni sulle congruenze (v. prova del 9). La formula per calcolare la radice digitale è quindi:

$r(n) = \begin{cases} n\ ({\rm mod}\ 9)\ n\ \ne 0\ ({\rm mod}\ 9) \\ 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\ \equiv 0\ ({\rm mod}\ 9) \end{cases}$

$r(n) = 1\ +\ [(n-1) {\rm mod}\ 9]$

Il passo riduttivo introdotto sopra è una endofunzione tra interi: per questa endofunzione i numeri da 1 a b sono punti fissi. Questa endofunzione definisce un digrafo infinito sugli interi che risulta essere sostanzialmente un aggregato di b-1 controarborescenze aventi come radici i numeri da 1 a b-1.

Per alcuni insiemi particolari di interi si trovano delle interessanti restrizioni per i possibili valori della radice digitale.

• Le radici digitali degli interi quadrati sono solo 1, 4, 7 e 9
• Le radici digitali dei cubi perfetti sono 1, 8 e 9
• Le radici digitali dei numeri triangolari sono 1, 3, 6 o 9
• Le radici digitali dei numeri primi diversi da 3 sono 1, 2, 4, 5, 7 e 8
• L'insieme delle radici digitali delle potenze di 2 è {1, 2, 4, 5, 7, 8}
• Tutti i numeri perfetti, con l'eccezione di 6, hanno come radice digitale 1.
• La radice digitale di un numero stellato è 1 o 4
• La radice digitale di un numero multiplo di 9 è 9.

Questi fatti possono essere utilizzati per controllare se un intero non appartiene ad un insieme di uno dei tipi suddetti: si tratta di un caso di controllo parziale basato su una condizione necessaria ma non sufficiente.

La somma teosofica di un numero N in base b utilizza il calcolo della radice numerica, dopo aver effettuato la somma dei primi N (nella stessa base e insieme numerico). Ad esempio in base 10, la somma teosofica di 4 é: 1+2+3+4 = 10 (1+0) = 1.

Voci correlate

Checksum

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