Radice dell'unità

Le radici $n$ -esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui $n$ -esima potenza è pari a 1, ovvero le soluzioni dell'equazione:

$x^n \,=\, 1.$

Indice

1 Le radici
2 Radici di un numero complesso qualsiasi
- 2.1 Esempi
3 Alcune radici di 1
4 Voci correlate

Le radici [modifica]

Nel campo complesso $\Bbb{C}$ per ogni intero positivo $n$ esistono esattamente $n$ radici $n$ -esime dell'unità e sono nella forma

Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo

$r_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n} = e^{2\pi ik/n}\;$

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con $k$ intero, $0\le k \le n-1$ .

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con $n$ lati che ha un vertice in $(1,0)$ .

Tra queste radici le uniche reali sono r₀ = 1 e, se $n=2k$ (cioè è pari) r_k = -1.

Per ogni n l'insieme delle radici $n$ -esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive $n$ -esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici $n$ -esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive $n$ -esime dell'unità sono quelle radici $n$ -esime dell'unità tali che:

$\forall m<n ~:~ x^m\ne 1 \ \$ .

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero $\phi(n)$ di interi minori di $n$ e coprimi con $n$ . Qui $\phi$ è la funzione di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasi [modifica]

Le radici $n$ -esime di un numero complesso $z$ possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

$z = |z|e^{i\phi} = |z|\left(\cos \phi + i \sin \phi\right).$

Se $z$ è diverso da zero, le radici $n$ -esime di $z$ sono effettivamente $n$ radici distinte. Una di queste è la seguente

$w_0 = \sqrt[n]{|z|} e^{\frac {i\phi}n}.$

Infatti

$w_0^n = \left(\sqrt[n]{|z|} e^{\frac {i\phi}n}\right)^n = |z| e^{\frac {ni\phi}n} = |z|e^{i\phi}.$

Più in generale, le $n$ radici $w_0,\ldots, w_{n-1}$ di $z$ si ottengono moltiplicando $w_0$ con le $n$ radici dell'unità. Quindi

$w_k= \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\phi}{n}+ \frac{2\pi k}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\phi}{n} + \frac{2\pi k}{n} \right) \right)$

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di $n$ lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è $\sqrt[n]{|z|}$ .

Esempi [modifica]

Le radici quarte di un numero reale positivo $a$ sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di $a$ per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di $a$ sono quindi:

$\sqrt[4] a, i\sqrt[4] a, -\sqrt[4] a, -i\sqrt[4] a.$

Le radici $n$ -esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di $n$ lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di $\pi/n$ in senso antiorario il poligono formato dalle radici $n$ -esime dell'unità. Il numero $-1$ è vertice del poligono quando $n$ è dispari.