Radice dell'unità

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In matematica, le radici n-esime dell'unità sono tutti i numeri (reali o complessi) la cui n-esima potenza è pari a 1, ovvero le soluzioni dell'equazione:

 x^n =1.

Le radici[modifica | modifica wikitesto]

Nel campo complesso  \Bbb{C} per ogni intero positivo n esistono esattamente n radici n-esime dell'unità e sono nella forma

Radici terze dell'unità, disposte ai vertici di un triangolo
r_k = \cos \frac{2\pi k}{n} + i \sin \frac{2\pi k}{n} = e^{2\pi ik/n}\;

dove l'ultima uguaglianza viene dalla formula di Eulero, con k intero, 0\le k \le n-1.

Esse si dispongono nel piano complesso lungo la circonferenza unitaria, ai vertici di un poligono regolare con n lati che ha un vertice in (1,0).

Tra queste radici le uniche reali sono r0 = 1 e, se n=2k (cioè è pari) rk = -1.

Per ogni n l'insieme delle radici n-esime dell'unità, con l'operazione data dalla moltiplicazione usuale sui complessi, forma un gruppo ciclico.

Si dicono radici primitive n-esime dell'unità tutte quelle radici che generano il gruppo delle radici n-esime dell'unità. È facile provare che le radici primitive n-esime dell'unità sono quelle radici n-esime dell'unità tali che:

 \forall m<n ~:~ x^m\ne 1 \ \ .

Il numero di radici primitive ennesime dell'unità è pari al numero \phi(n) di interi minori di n e coprimi con n. Qui \phi è la funzione di Eulero.

Radici di un numero complesso qualsiasi[modifica | modifica wikitesto]

Le radici  n-esime di un numero complesso z possono essere descritte in modo più agevole rappresentando il numero complesso in forma polare

z = |z|e^{i\phi} = |z|\left(\cos \phi + i \sin \phi\right).

Se z è diverso da zero, le radici n-esime di z sono effettivamente n radici distinte. Una di queste è la seguente

w_0 = \sqrt[n]{|z|} e^{\frac {i\phi}n}.

Infatti

w_0^n = \left(\sqrt[n]{|z|} e^{\frac {i\phi}n}\right)^n = |z| e^{\frac {ni\phi}n} = |z|e^{i\phi}.

Più in generale, le n radici w_0,\ldots, w_{n-1} di z si ottengono moltiplicando w_0 con le n radici dell'unità. Quindi

w_k= \sqrt[n]{|z|} \left( \cos \left( \frac{\phi}{n}+ \frac{2\pi k}{n} \right) + i \sin \left( \frac{\phi}{n} + \frac{2\pi k}{n} \right) \right)

Queste radici formano sempre i vertici di un poligono regolare di n lati centrato nell'origine. Il raggio del poligono è \sqrt[n]{|z|}.

Esempi[modifica | modifica wikitesto]

Le radici quarte di un numero reale positivo a sono ottenute moltiplicando la radice quarta reale di a per le quattro radici dell'unità. Le quattro radici quarte di a sono quindi:

\sqrt[4] a, i\sqrt[4] a, -\sqrt[4] a, -i\sqrt[4] a.

Le radici n-esime di -1 formano nel piano complesso un poligono regolare di  n lati, centrato nell'origine: lo si può ottenere ruotando di \pi/n in senso antiorario il poligono formato dalle radici n-esime dell'unità. Il numero -1 è vertice del poligono quando n è dispari.

Alcune radici di 1[modifica | modifica wikitesto]

\left\{\sqrt[0]{1}\right\}=\Bbb{C}-\left\{0\right\}
\sqrt[1]{1}=1
\sqrt[2]{1}=\pm\ 1
\left\{\sqrt[3]{1}\right\}=\left\{ 1; \frac{-1 + i \sqrt{3}}{2}; \frac{-1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}
\left\{\sqrt[4]{1}\right\}=\left\{ \pm\ 1; \pm\ i \right\}
\left\{\sqrt[5]{1}\right\}= \left\{ 1; \frac{u\sqrt{5}-1}{4} + v\sqrt{\frac{5 + u\sqrt{5}}{8}}i  : u,v \in \{-1,1\} \right\}.
\left\{\sqrt[6]{1}\right\}=\left\{\pm\ 1; \frac{\pm\ 1 + i \sqrt{3}}{2}; \frac{\pm\ 1 - i \sqrt{3}}{2} \right\}
\left\{\sqrt[8]{1}\right\}=\left\{\pm\ 1; \pm\ i; \pm\ \frac{1+i}{\sqrt{2}}; \pm\ \frac{1-i}{\sqrt{2}}\right\}

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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